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Änderung der Determinante bei Zeilenumformungen
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Tags: Determinant, Eigenwert, Körper, Linear Abbildung, Lineare Unabhängigkeit, Matrizenrechnung, Sonstig, Vektorraum, Zeilenumformung
 
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Hallo, liebe Community :-) Ich habe eine Frage bezüglich folgender Aufgabe: Aufgabe: Wie verändert sich der Wert einer Determinante bei elementaren Zeilen- und Spaltenumformungen? Berechnen Sie die folgende Determinante, indem Sie sie durch Zeilen- und Spaltenumformungen auf diagonale Zeilenstufenform bringen: Meine Fragen dazu: 1. Mit der diagonalen Zeilenstufenform meinen sie doch die ganzen normale Zeilenstufenform, oder? 2. Wie genau soll ich feststellen, wie sich eine Matrix durch elementaren Zeilen- und Spaltenumformungen verändert? Das finde ich nämlich nicht unbedingt intuitiv... Um diese Frage zu beantworten, muss ich doch erst die Determinante der Matrix durch den Laplace'schen Entwicklungssatz berechnen, um sie erstmal zu kennen. Und dann? Wenn ich die Matrix ins ZSF bringe, wie kann ich wissen, welche Umformungen die Determinante verändern? Muss ich mehrere Fälle berechnen? Ich weiß nicht genau, wie ich das umsetzen soll. Kann mir jemand helfen? Ich bedanke mich schon im Voraus! Mfg Tim Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, ich würde für beide Darstellungsformen (Ursprungsform, ZSF) die Determinante berechnen und dann die Werte vergleichen. Das ist zwar kein Beweis, aber der ist ja auch nicht explizit verlangt. Die Determinante der Ursprungsform kannst du in der Tat mit dem Laplace'schen Entwicklungssatz berechnen. Bei der Zeilenstufenform reicht die Multiplikation der Diagonalelemente. Gruß pivot |
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Danke für deine Antwort! So ähnlich habe ich mir das auch gedacht, aber dann fiel mir auf, dass ich am Ende die Matrix in ZSF so ca. Mal umformen muss, um jeden Fall abzudecken... Mein Ansatz: Habe ich im Rechner eingegeben. Nun zur diagonalen ZSF: . Zeile . Zeile . Zeile . Zeile . Zeile . Zeile . Zeile . Zeile . Zeile . Zeile . Zeile . Zeile . Zeile . Zeile . Zeile . Zeile . Zeile . Zeile Dabei habe ich seltsame Ergebnisse herausbekommen... Wenn ich nun die Hauptdiagonalelemente multipliziere, erhalte ich Ich bezweifle, dass es richtig ist... Wie kann man nun wissen, was alles die Determinante verändert? Mfg Tim |
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Die Fragen nach der Invarianz der Determinante sind doch ganz allgemein gestellt, also muss man sie auch allgemein beantworten. Ob ein Beweis für die Richtigkeit der Antworten erwartet wird, weiß ich nicht. Welche Grundlagen über Determinanten habt ihr denn gelernt? Wisst ihr, dass eine Determinante multilinear ist. Wisst ihr, dass sie das Vorzeichen wechselt, wenn man zwei Reihen (also Zeilen oder Spalten) vertauscht? Ohne Kenntnisse der allgemeinen Eigenschaften von Determinanten kommt man hier gar nicht zum Ziel, es sei denn man hat einen Satz, der einem mitteilt, welche Art von elementaren Zeilen- (Spalte-) Umformungen die Determinante unverändert lassen. Dann muss man diesen Satz halt hier zitieren ... Die Operationen, die du auf die angegebene konkrete Matrix loslässt, sind keine elemntaren Zeilenumformungen. Du solltest dir die Definition des Begriffes "elementare Zeilenumformung" unbedingt genauer ansehen ... Gruß ermanus |
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