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Änderung in einem Punkt
Universität / Fachhochschule
Tags: Vorstellung
 
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Hallo, ich habe eine Frage zur lokalen Änderungsrate. Diese beschreibt die Änderung in einem Punkt. Ich finde diesen Ausdruck irgendwie sehr irreführend, da man an einer bestimmten Stelle ja genau einen Funktionswert hat und erstmal nicht von einer Änderung sprechen kann.(?) Wenn man sich die Formel etwas genauer anschaut, dann sieht man, dass man an eine bestimmte Stelle . beliebig nahe rangeht und eben doch schaut, wie sich die Funktionswerte in einer sehr kleinen Umgebung von verändern. Stelle ich mir das ganze noch irgendwie falsch vor? Ich würde mich über eine Antwort freuen. Liebe Grüße Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
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studyflix.de/mathematik/momentane-aenderungsrate-4034 |
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Hallo, ich würde es so (unmathematisch) formulieren: Man bestimmt die infitisimale Änderung mit Hilfe der Punkte mit den x-Werten und . Dabei gilt, dass . Der x-Wert des Punktes für den die Steigung betrachtet wird ist , da ist. Gruß pivot |
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Wenn du in einem Auto sitzt, dass sehr stark abgebremst wird, dann hat dieses Auto zu jedem Zeitpunkt des Bremsvorgangs auch nur genau eine Geschwindigkeit, aber dennoch wirst du in jedem Zeitpunkt die momentane Geschwindigkeitsänderung spüren, wenn es dich mehr oder weniger stark nach vor in den Gurt drückt. Das liegt daran, dass der Zeitpunkt ja nicht allein und isoliert ist, sondern es ein Davor und ein Danach gibt. Der Zeitpunkt selbst ist ja relativ rasch auch schon wieder vorbei, nämlich genau in Null Sekunden ;-) Und du wirst auch die Größe und Richtung (Vorzeichen) der Änderung erfühlen können, je nachdem, ob langsam und sanft oder abrupt gebremst wird oder ob das Fahrzeug vielleicht sogar seine Geschwindigkeit erhöht und du nach hinten in die Sitzlehne gepresst wirst. Es macht also durchaus Sinn, von einer Änderung in einem (Zeit)punkt zu sprechen, wenn es zusätzlich noch ein vor und nach diesem Punkt gibt, in denen man ja auch die Funktionswerte kennt. Formal wählt man Zeitpunkte kurz vor und/oder nach dem betrachteten und ermittelt die mittlere Änderung in dieser Zeitspanne, macht das immer "genauer" indem man die Zeitspanne immer kürzer wählt und vollführt dann mithilfe der Infinitesialrechnung den Grenzübergang vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten, mit dem man es dann ganz "genau" hat. |
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Oder wenn du dich mal an die Schule erinnerst - graphisch anschaulich: Da habt ihr Funktionen gezeichnet und deren Tangente diskutiert. Es wird dir hoffentlich noch gelingen, an beliebige Kurven an beliebigen Stellen ("Punkten") eine Tangente einzuzeichnen. Und diese Tangente hat doch anhand ihrer Steigung ein eindeutiges Merkmal, und damit die Steigung der Kurve in diesem Punkt. |
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Das Beispiel von Roman-22 finde ich sehr gut, weil sehr anschaulich. |
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Hallo in einem Sinne hast du recht: eine "momentane Änderung" kann man nicht messen, im Gegensatz zu Roman denke ich auch nicht fühlen, trotzdem hat man das Bedürfnis, etwas , das sich wie Geschwindigkeiten oder Steigungen an einem Berg oder Veränderung einer Wassermenge zu einem Orts oder Zeitpunkt zu definieren. Das ist genau die Definition der Ableitung, die beste lineare Annäherung, die es zu einer Kurve oder einem Zeitverlauf gibt. Aber es ist eben doch eine Definition, eben die best mögliche, denn wenn sich etwas linear ändert ist die Langzeitänderung und die Kurzzeitänderung immer gleich, dann natürlich auch zu einem Zeitpunkt. Oder man sieht es als Grenzwert über immer kürzerer Strecken oder Zeiten . Fest steht aber immer: Es ist eine Definition. Gruß ledum |
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Na ja, physikalisch sind Dinge wie Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung doch gar nicht so weltfremd, dass man sie rein als Definition abtun müsste. Auch Kleinkinder strahlen angesichts eines Kartenspiels, das die Geschwindigkeit der Autos gewinnen lässt. Dass sie erst viel später in der Schule die Geschwindigkeit als Ableitung des Wegs, die Beschleunigung als Ableitung der Geschwindigkeit kennen lernen, mindert nichts daran, dass sie und wir schon viel früher eine reale Vorstellung von diesen alltäglichen Dingen gewinnen und verstehen lernen. |
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Vielleicht drehe ich den Spieß mal rum und versuche es über das Integral zu erklären: Mit einem Beispiel: Die Ladung einer Batterie Integral zwischen den Grenzen tanfang und tende. Der Strom I1 hat für eine kleine makroskopische Zeitdauer einen konstanten Wert und ändert sich danach auf einen anderen ebenfalls wieder konstanten Wert für die nächste makroskopische Zeitdauer und so weiter für alle Zeiten zwischen tanfang und tende. Die Ladung wird dann einfach die Summe aller Ii*Ti sein. Das gleiche was für einen Strom gilt, gilt auch für eine fahrende Kutsche: Die Ströme werden zu Geschwindigkeiten und die Zeiten bleiben und an Stelle der Ladung steht dann der zurückgelegte Weg, bzw. die position der Kutsche. Die Kutsche entspricht auch vermutlich ehr dem, was Newton und Leipniz auf die Infinitesimalrechnung gebracht hat. Das klein muß man aus Sicht der Anwendungen nicht ganz so eng sehen. Klein genug, das sich die Ströme oder Geschwindigkeiten nicht mehr wesentlich ändern. Das hängt eigentlich nur von den Genauigkeitsansprüchen ab, bzw. man kann es immer so klein machen, das es genau genug ist. Ich würde es nicht allzu eng sehen, Ableitungen sind Handwerk, man muß nur die REgeln kennen und lernen, dann funktioniert das recht gut. Viel "böser" sind die Integrale. |
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