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Äquialenzrelationen, Menge

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Relationen

Tags: Äquialenzrelationen, Menge, Relationen

simon89 aktiv_icon

13:37 Uhr, 29.09.2009

Ich brauche eure Hilfe kann leider aufgrund meiner letzten Tagen bei der Bundeswehr nicht am vorkurs Live eilnehmen versuche jedoch die aufgaben zu lösen. Leider weiß ich hier nicht den ansatz ...

hoffe ihr könnt mir genau sagen wie ich hier am besten vorgehe: danke

Aufgabe 1: Geben Sie alle Äquivalenzrelationen auf der Menge M = {1, 2, 3} an. (Hinweis:
jede Äquivalenzrelation ist durch ihre Äquivalenzklassen eindeutig bestimmt, und
die Äquivalenzklassen sind disjunkt mit Vereinigung M.)

Aufgabe 2: Untersuchen Sie die Frage, wann die Dezimalbruchentwicklung einer reellen
Zahl periodisch ist.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Sina86

19:54 Uhr, 30.09.2009

Hi Simon,

eine Äquivalenzrelation ist eine Beziehung zwischen zwei Zahlen, die bestimmte Eigenschaften erfüllt:

Sei

M

eine (nicht-leere) Menge und

x, y \in M

, dann ist eine Beziehung

\sim

eine Äquivalenzrelation auf M, wenn gilt:

\forall x \in M : x \sim x

(Reflexivität)

\forall x, y \in M : x \sim y \Rightarrow y \sim x

(Symmetrie)

\forall x, y, z \in M : x \sim y \land y \sim z \Rightarrow x \sim z

(Transivität)

Das kann man vlt am besten an einem Bsp. verdeutlichen. Wählen wir

M := {1, 2, 3}

und denken wir uns eine möglichst simple Beziehung zwischen Zahlen aus. Unsere erste Beziehung sei bezeichnet durch

\sim_{1}

und wir sagen

\forall x, y \in M : x \sim_{1} y \Leftrightarrow x = y

Diese Beziehung ist reflexiv, denn es gilt:

\forall x \in M : x = x \Rightarrow x \sim_{1} x

Sie ist symmetrisch, denn es gilt:

\forall x, y \in M : x \sim_{1} y \Leftrightarrow x = y \Leftrightarrow y = x \Leftrightarrow y \sim_{1} x

Und sie ist transitiv:

\forall x, y, z \in M : x \sim_{1} y \land y \sim_{1} z \Leftrightarrow x = y \land y = z \Leftrightarrow x = y = z \Leftrightarrow x \sim_{1} z

Nun fasst man alle Elemente zusammen, die bezüglich der Relation

\sim_{1}

in Beziehung zueinander sind (äquivalent sind) und nennt diese Mengen dann Äquivalenzklassen. Man bezeichnet sie meistens durch eckige Klammern (manchmal mit einer Fußnote daran, um die zugrunde liegende Beziehung kenntlich zu machen) und einem Element aus dieser Menge in den Klammern, also z.B.

[2]_{1}

ist die Äquivalenzklasse von 2 unter der Beziehung 1. In diesem Fall sind die Äquivalenzklassen sehr einfach, da sie alle nur ein Element enthalten.

Deswegen vlt noch ein anderes Bsp:
Wir zerlegen

M

in zwei Untermengen

M_{1} := {2, 3}

und

M_{2} := M \ M_{1} = {1}

(Differenzmenge). Es gilt offensichtlich

M = M_{1} \cup M_{2}

Nun benennen wir unsere Relation

\sim_{2}

und definieren dafür:

\forall x, y \in M : x \sim_{2} y \Leftrightarrow x, y \in M_{1} \lor x, y \in M_{2}

Und weisen zunächst die 3 Eigenschaften nach:
Reflexivität:

\forall x \in M : x \in M_{i} \Rightarrow x, x \in M_{i} \Rightarrow x \sim_{2} x, i = 1, 2

Symmetrie

\forall x, y \in M : x \sim_{2} y \Leftrightarrow x, y \in M_{1} \lor x, y \in M_{2} \Leftrightarrow y, x \in M_{1} \lor y, x \in M_{2} \Rightarrow y \sim_{2} x

Reflexivität:

\forall x, y, z \in M : x \sim_{2} y \land y \sim_{2} z \Leftrightarrow (x, y \in M_{1} \lor x, y \in M_{2}) \land (y, z \in M_{1} \lor y, z \in M_{2})

\Leftrightarrow (x, y \in M_{1} \land y, z \in M_{1}) \lor (x, y \in M_{1} \land y, z \in M_{2}) \lor (x, y \in M_{2} \land y, z \in M_{1}) \lor (x, y \in M_{2} \land y, z \in M_{2})

Jetzt hat man hier eine Verkettung von verschiedenen Aussagen durch einen Oder-Operator. D.h. man sollte hier im Zweifelsfall eine Fallunterscheidung machen, die mach ich dir aber nicht vor, die seien dir zu Übungszwecken überlassen (ja, ich bin zu faul ;-) ). Aber die Fälle wären:
1.Fall

x, y \in M_{1} \land y, z \in M_{1}

2.Fall

x, y \in M_{1} \land y, z \in M_{2}

etc.
Hier muss für jeden Fall rauskommen, entweder, dass er nicht eintreten kann, oder dass die Transitivität der Elemente gilt.

Offensichtlich gilt für die Äquivalenzklassen:

[1]_{2} = M_{1}

[2]_{2} = M_{2}

Hier kann man nun noch die Rolle des Vertreters erklären, dass ist die Zahl, die man zwischen die eckigen Klammern schreibt. Den Vertreter kann man frei aus der Äquivalenzklasse wählen, es muss also nur ein Element sein, dass in der Äquivalenzklasse liegt. So gilt also:

[2]_{2} = [3]_{2}

, die Idee ist, wenn du weißt, welches Element in einer Äquivalenzklasse ist, kannst du über die Äquivalenzrelation herausfinden, welche anderen Zahlen auch in dieser Klasse sind. Deswegen sind mehr Angaben nicht notwendig.

Nun noch ein paar Worte zu deiner Äquivalenzklassenaufgabe :-)
Also, Äquivalenzklassen sind immer disjunkt, d.h. jedes Element liegt in genau einer Äquivalenzklasse. Grund ist die Reflexivität:
Gilt für ein Element

x \in M

, dass

x \in [a]_{\sim} \land x \in [b]_{\sim}

, dann gilt für alle

y \in [a]_{\sim}

und für alle

z \in [b]_{\sim}

, dass

y \sim x \land x \sim z \Rightarrow y \sim z

und somit

[a]_{\sim} = [b]_{\sim}

Somit wären

a

und

b

(und auch

x, y, z

) nur Vertreter derselben Äquivalenzklasse...
Und jedes Element einer Menge

M

muss einer Äquivalenzklasse zugeordnet werden können. Z.B. die die "Relation"

x \sim y \Rightarrow x, y \in N \subset M

keine Äquivalenzrelation (warum nicht?). Man könnte sie aber zu einer Äquivalenzrelation erweitern (wie?)

Darüber hinaus wird in deiner Aufgabe gefragt, wieviele Äquivalenzrelationen es gibt und dass diese durch Angabe der Äquivalenzklassen eindeutig bestimmt werden. Deswegen musst du dir nur Gedanken darüber machen, was eine gültige Aufteilung in Äquivalenzklassen ist, ohne dass du dir Gedanken über die dahinter liegenden Relationen machen musst. Also, was hier erklärt wurde ist eigentlich nur nice to know.

Vlt noch eine kleine Denkaufgabe zum Ende, warum ist die Relation

x \sim_{3} y \Leftrightarrow x, y \in M_{1} \lor x, y \in M_{2}

mit

M_{1} := {1, 2}

und

M_{2} := {2, 3}

keine Äquivalenzrelation?

Lieben Gruß
Sina

simon89 aktiv_icon

15:13 Uhr, 01.10.2009

vielen lieben dank echt super erkärung

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