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Äquipotentiallinien

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Äquipotentiallinien, Funktion

Floriannnn aktiv_icon

11:00 Uhr, 06.02.2017

Hallo Leute,

für die Klausurvorbereitung liegt mir eine Aufgabe vor, dessen Lösungsweg ich nicht ganz verstehe. Sie Lautet:

Bestimmen Sie für

f (x, y) = \frac{({(x - 1)}^{2}) + y^{2}}{({(x - 1)}^{2}) + y^{2}}

die Äquipotentiallinien für

(x, y) \neq (- 1 | 0) . (1)

Sein Ansatz: Aus

\frac{({(x - 1)}^{2}) + y^{2}}{({(x - 1)}^{2}) + y^{2}}

"!"=

c \geq 0

folgt

(c - 1) x^{2} + (c - 1) y^{2} + 2 (c + 1) x + (c - 1) = 0 (2)

Daraus resultiert für

c = 1 : x = 0

c \neq 1 : x = {(x + \frac{c + 1}{c - 1})}^{2} + y^{2} = 4 \frac{c}{{(c - 1)}^{2}}

Damit für

c = 1

die Äquipotetiallinie die y-Achse, für

c \neq 0

sind die Äquipotetiallinien die Kreise um

(\frac{c + 1}{c - 1},0)

mit Radius

\frac{2 \sqrt{c}}{| c - 1 |}

Muss man bei einem solchen Aufgabentyp immer mit dem

c

rechnen?
Wie kommt er auf die Umformung mit

c

nach dem Bruch

(2)

?
Wo fließt der Punkt

(- 1 | 0)

ein?(1)
Geht es auch anders/leichter?

Vielen Dank schonmal für eure Hilfe !

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Roman-22

12:04 Uhr, 06.02.2017

Den Funktionsterm hast du offenbar zweimal falsch wiedergegeben. Im Nenner soll doch sicher

x + 1

anstelle von

x - 1

stehen, oder?

>

Muss man bei einem solchen Aufgabentyp immer mit dem

c

rechnen?
Naja, Äquipotentiallinien sind nun mal jene Flächenkurven, für die

f (x, y)

immer den gleichen Wert haben. Wenn du so möchtest sind das die Höhenlinien (Schichtenlinien) des Geländes, welches durch

z = f (x, y)

beschrieben wird. Also ja, immer f(x,y)=const. setzen. Im Falle deines Funktionsterm kommen nur positive Werte infrage, da du einen Quotienten aus Quadratsummen hast, der für reelle Argumente natürlich nie negativ werden kann.

>

Wie kommt er auf die Umformung mit

c

nach dem Bruch

(2)

?
Einfach die Gleichung

f (x, y) = c

ausrechnen. Die Gleichung mit dem Nenner multiplizieren,

{(x + 1)}^{2}

und

{(x - 1)}^{2}

ausrechnen, alles nach rechts bringen,

x^{2}, x

und

y

jeweils aus zwei Summanden ausklammern und zu guter Letzt die beiden Gleichungsseiten vertauschen.

>

Wo fließt der Punkt (−1|0) ein?(1)
Der ist schlicht nicht in der Definietionsmenge. Wenn du den in

f (x, y)

einsetzen würdet, landest du bei einer Division durch Null. Also kann jegliche Rechnung für diesen Punkt nicht gültig sein.

>

Geht es auch anders/leichter?
War das denn so schwierig?

Floriannnn aktiv_icon

12:17 Uhr, 06.02.2017

im Nenner gehört ein

+

statt dem

-,

richtig.

Vielen Dank für die Antwort!

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