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Äquivalente Aussagen - Quadratische Matrix
Universität / Fachhochschule
Matrizenrechnung
Tags: Linear Abbildung, Lineare Gleichungen, Matrizenrechnung
 
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Hallo, Sei eine quadratische Matrix. Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen: Für wenigstens ein hat die Gleichung keine Lösung. (ii) Für wenigstens ein hat die Gleichung mehrere Lösungen. (iii) Für kein hat die Gleichung genau eine Lösung. Ich hab schon gezeigt (iii) (ii) und (ii) . Aber ich komme nicht weiter bei (i) (iii). Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, nun, wegen des Dimensionssatzes sind (i) und (ii) äquivalent, da ein Vektorraumendomorphismus auf einem endlich-dimensionalen Vektorraum genau dann surjektiv ist, wenn er injektiv ist. (Wie gesagt: Kern-Bild-Satz) Demnach müsstest du eigentlich nur (i) (iii) oder (ii) (iii) zeigen, was ich mit (iii) (i) probieren würde. Denn: Nicht (Für kein hat genau eine Lösung) bedeutet ja nichts anderes, als dass bijektiv (wenigstens erstmal surjektiv) ist, was die Negierung von (i) ist. Mfg Michael |
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Aber die Negation von (iii) ist doch: Für wenigstens ein hat genau eine Lösung. Wieso ist dann bijektiv bzw. surjektiv? Und wenn ich jetzt weiß, dass und (ii) äquivalent sind, müsste ich dann nicht trotzdem noch zeigen (i) (iii) und (iii) (ii) ? |
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Hallo, sorry, du hast recht, ich habe gepennt. Trotzem. Wenn nun doch eindeutig lösbar wäre, dann wäre der Rang der Matrix doch maximal (also gleich der Dimension des ). Das wäre doch aber gleichbedeutende mit Bijektivität der Abbildung , unabhängig von , was sowohl zu (i) als auch zu (ii) im Widerspruch stünde. Hängt nun also davon ab, ob ihr dieses Argument verwenden dürft, d.h. ob ihr ein entsprechendes Resultat schon beweisen habt. Mfg Michael |
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Vielen Dank! Ich hab's hingekriegt |
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