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Äquivalente Aussagen bei Mengen

Universität / Fachhochschule

Mengentheoretische Topologie

Tags: mengen, Mengenlehre, Mengentheoretische Topologie, Relationen

Astasor aktiv_icon

19:54 Uhr, 12.12.2009

Hey, also ich bins mal wieder.

Ich soll beweisen das verschiedene Aussagen bei Mengen äquvalent sind. das müsste gleichwertig heißen, oder?

eine Aussage wäre

A \subseteq B

das heißt ja, das A eine Teilmenge von

B

ist. Wie soll ich da was beweisen?

Ich würde es hier an nem Beispiel machen.

A=

{

a1,-,an} wobei gilt a1,-,an el B={b1,-,bn} wobei gilt b1,-,bn !el A

A \cup B = {a 1, -, a n, b 1, -, b n} = A \subseteq B

denn einfach

A \subseteq B = B \supseteq A

wäre irgendwie zu einfach und sicherlich auch falsch.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Mengenlehre

screechowl

20:30 Uhr, 12.12.2009

"Äquivalent" ist äquivalent zu "gleichwertig", ja ;-)

Deine Feststellung, dass

A \subseteq B = B \supseteq A

ist gewiss nicht falsch, aber tatsächlich weniger Sinn der Aufgabe.
Deine Notation im Mittelteil ist etwas wirr und die Folgerung, dass

A \cup B = A \subseteq B

gilt, ist auch nicht nachvollziehbar. In deinem Beispiel gehst Du vielmehr schon davon aus, dass bereits

A \subseteq B

gilt, somit wäre

A \cup B = B

. Aber darum geht's dir ja nicht.

Hier mal einige Beispiele, die äquivalent zu deiner Teilmengenbeziehung sind:

A \subseteq B \Leftrightarrow (! A) \cup B = C \Leftrightarrow A \cap (! B) = \emptyset \Leftrightarrow A \cap B = A \Leftrightarrow A \cup B = B

Ich bin mir allerdings auch nicht allzu sicher, ob deine Aufgabe dies verlangt. Umfasst die Aufgabenstellung denn keinerlei weitere Angaben bzw. Aussagen (weil Du schreibst "EINE Aussage wäre...")?

Astasor aktiv_icon

20:50 Uhr, 12.12.2009

Weitere Dinge umfasst meine Aufgabenstellung nicht. Da steht nur

"Beweisen sie das die folgenden Aussagen äquivalent sind:"

und dann

A \subseteq B

natürlich stehen da noch viele andere Aussagen die es zu beweisen gilt, doch zu dieser einen steht nichts weiter.

Das was du da hingeschrieben hast sieht sehr profesionell aus, doch ich habe nur eine wage Ahnung wie du da rauf kommst.

Warum zum Beispiel sollten

! A \cup B = C

also eine neue Menge sein? Heißt

\subseteq

etwas das A nur zum Teil in

B

liegt also das Komplement komplett darin liegen würde? Wenn ja, dann rattert bei mir so langsam was.

screechowl

21:58 Uhr, 12.12.2009

Zugegeben, mit

A \subseteq B \Leftrightarrow (! A) \cup B = C

hätte ich dich vllt. nicht sofort konfrontieren sollen, entschuldige bitte. Die anderen Aussagen sind hoffentlich besser nachvollziehbar.

Ist

A \subseteq B,

liegt die Menge A _komplett_ in der Menge

B,

also:

x \in A \Rightarrow x \in B

(der Umkehrschluss gilt nur dann, wenn A eine echte Teilmenge von

B

ist, also

A = B

gilt).

Das Komplement von A umfasst nun alle Elemente, die nicht in A liegen. Es liegen dementsprechend alle

x \in (B \ A)

in der Menge

(! A),

aber auch alle weiteren Elemente einer Grundmenge

G,

die ja möglicherweise aus mehr Teilmengen als nur A und

B

besteht (das ist ja nicht angegeben).

(! A)

wäre in diesem Fall also die Menge, für die gilt:

x \in G \ A

.

Aber das ist eigentlich schon zu viel des Guten, zurück zum eigentlichen Thema: ich muss zugeben, auch nicht so recht zu wissen, was die Aufgabe genau als Lösung erwartet. Ich hoffe, hier schauen noch andere Forennutzer hinein, die dir diesbzgl. weiterhelfen können.

Astasor aktiv_icon

14:12 Uhr, 13.12.2009

Hab nur ne fixe Idee. Also die Aufgabe heißt:

"Beweisen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:"

1 a) A \subseteq B

1 b) A \cap B = A

1 c) A \cup B = B

2 a) A = B

2 b) (A \cap! B) \cup (! A \cap B) = \emptyset

vielleicht meinen die auch äquivalent zueinander?

\emptyset

müsste die leere Menge sein, oder?

hagman aktiv_icon

19:15 Uhr, 13.12.2009

Yep. Zu zeigen ist

1 a \Leftrightarrow 1 b \Leftrightarrow 1 c

sowie als zweite Aufgabe

2 a \Leftrightarrow 2 b

Astasor aktiv_icon

19:48 Uhr, 13.12.2009

Und wie mache ich das? Indem ich

1 a

auf

1 b

umforme oder andersrum? oder wären beispiele besser? denn es ist ja schon eindeutig wie die mengen gelagert sind.

hagman aktiv_icon

12:53 Uhr, 14.12.2009

Du kannst zum Beispiel

A \subseteq B \Rightarrow A \cap B = A

zeigen, sowie

A \cap B = A \Rightarrow A \cup B = B

sowie

A \cup B = B \Rightarrow A \subseteq B

Astasor aktiv_icon

15:06 Uhr, 15.12.2009

Mal schauen was es auf mein zeug gibt, das ich abgegeben habe. Hab das mit Elementen gemacht Wo was drin ist und so.
Und das, was du gerade geschrieben hast, merke ich mir für die Zukunft.

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