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Äquivalente Aussagen im K-Vektorraum

Universität / Fachhochschule

Lineare Unabhängigkeit

Vektorräume

Tags: Lineare Unabhängigkeit, Vektorraum

 
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LRF99

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22:05 Uhr, 02.02.2021

Antworten
Sei V ein K-Vektorraum mit dim(V)=n ∈ N. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen
äquivalent sind.
1.)v1,v2,. . . , vn sind linear unabhängig.
2.) Span{v1, v2,. . . , vn} =V.
3.){v1,v2,. . . , vn} ist eine Basis von V .

"Ansätze":
1.) ⟹ 2.):
Es gilt, dass dim(V)=n∈N sowie dass die Vektoren v1,...,vn linear unabhängig sind. Die Dimension ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren in V. Da somit Span{v1,...,vn} aus allen möglichen linearen Vektoren von V besteht, folgt, dass Span{v1,...,vn}=V und wir alle Vektoren in V aus dieser Span erzeugen können.
2.) ⟹ 3.):
Sei dim(V)=n∈N sowie Span{v1,...,vn}=V. Dann kann die Span nicht zu einer Basis erweitert werden, da es schon n Elemente hat. Daher muss {v1,...,vn} bereits eine Basis sein.
3.) ⟹ 1.):
Sei dim(V)=n∈N sowie {v1,...,vn} eine Basis von V. Dann müssen die Vektoren v1,...,vn per Definition einer Basis linear unabhängig sein.

Das Problem ist, dass dies keine Beweise sondern eher Erklärungen sind und ich nicht weiß, wie diese mathematischen Beweise aussehen soll.
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Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

09:21 Uhr, 03.02.2021

Antworten
Hallo,

wie immer hängt sehr viel davon ab, was ihr schon an Ergebnissen habt und verwenden könnt.

Z.B.:
A: Sind V,W endlich-dimensionale Vektorräume über dem gleichen Körper K mit V⊆W und dim(V)=dim(W), so gilt V=W.

Beweis: Wäre V⊂W (also V≠W), so gäbe es w∈W\V.
Weiters sei NB:={b1,…,bn} eine Basis von V.
Wegen w∈V\W⇒w∉Span(B). Damit ist {b1,…,bn,w} linear unabhängig. Denn:
Wir betrachten:
λ1b1+…+λnbn+λn+1w=0 (*)

Gäbe es ein Set, sodass nicht alle λi=0 (für 1≤i≤n+1) gälte, so müsste insbesondere λn+1≠0 sein (sonst wäre B nicht linear unabhängig, was im Widerspruch zur Wahl von B als einer Basis steht).

Damit kann die Gleichung (*) wie folgt umgeformt werden:
w=-λ1λn+1b1-…-λnλn+1bn, woraus w∈Span(B)=V folgt, was im Widerspruch zur Wahl von w stünde.

Damit ist aber gezeigt, dass B∪.{w} linear unabhängig in W ist, sodass dim(W)≥∣B∪.{w}∣=n+1>n wäre, was im Widerspruch zu dim(V)=dim(W) stünde.

Damit gezeigt: Endlich-dimensionale in einander enthaltende VRe mit gleicher Dimension sind identisch.

Damit kannst du "1.) ⇒ 2.)" erledigen.

"2.) ⇒ 3.)" würde ich (wieder) per Widerspruch erledigen.
Annahme: Dies ist keine Basis von V. Dann können die Vektoren nur linear abhängig sein oder die Dimension von V wäre größer als n.
Letzteres steht im Widerspruch zur Voraussetzung dim(V)=n; ersteres aber auch, da ich aus den vi eine Basis auswählen könnte, die aber dann weniger als n Elemente enthielte. Damit wäre die Dimension von V aber auch kleiner als n.

"3.) ⇒ 1.)" ist korrekt.

Mfg Michael
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