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Äquivalenzklasse, wie mache ich das?

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Äquivalenzrelation, Menge, Mengenlehre

 
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freaky66

freaky66 aktiv_icon

23:45 Uhr, 07.11.2019

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Hallo liebe Leute,

ich stelle euch mal die Aufgabe vor

Gegeben sei eine Menge X und eine Äquivalenzrelation ~ auf X.
Weiterhin bezeichnet [x] die Äquivalenzklasse für das Element xeX. Zeigen Sie, dass für alle x,yeX gilt:

[x] ∩ [y] ≠ Ø ⇔[x]=[y].

Wie um alles in der Welt mache ich das...

freue mich über jede hilfe...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

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michaL

michaL aktiv_icon

08:40 Uhr, 08.11.2019

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Hallo,

zunächst einmal hast du eine Äquivalenz "⇔" zu beweisen. Wenn es keine Abkürzung gibt, beweist man üblicherweise beide Implikationen, "⇒" und "⇐" getrennt voneinander.

Ich führe dir "Leftarrow" vor:
Gilt [x]=[y], so ist insbeseonder x∈[x]=[y], d.h. es gilt zumindest x∈[x]∩[y]. Insbesondere gilt also [x]∩[y]≠∅.

Um die andere Richtung zu beweisen, musst du eine Mengengleichheit "A=B" beweisen.
Das macht man (ähnlich zur Äquivalenz) getrennt nach den beiden Inklusionen A⊆B und A⊇B.

Vielleicht ein Tipp: Und um zu beweisen, dass [x]⊆[y] gilt, dafür benötigst du hochgradig die Transitivität der zugrunde liegenden Äquivalenzrelation!

Mfg Michael
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