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Äquivalenzklassen

Universität / Fachhochschule

Relationen

Tags: Äquivalenzklassen, geometrische Darstellung, Relation.

anonymous

12:37 Uhr, 09.11.2014

Sehr geehrte Mitglieder,

folgende Aufgabe bereitet mir große Probleme bezüglich der Verständlichkeit:

Sei

f : ℝ \times ℝ \to ℝ

die Abbildung mit

f (x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

.

Bestimmen Sie die Äquivalenzklassen von

~ f

und geben Sie eine geometrische Beschreibung der Äquivalenzklassen.
Zeichnen Sie die Äquivalenzklassen von

(1,0)

in der Ebene

ℝ \times ℝ

.
Geben Sie eine geometrische Beschreibung der induzierten Abbildung F(quer)= (

ℝ \times ℝ) / ~ f \to ℝ

.

Folgendes habe ich mir überlegt:
Die Äquivalenzklasse ist ja die Menge der Elemente die zu

(x, y)

äquivalent sind. Also

[(x, y)] = {\sqrt{x^{2} + y^{2}}}

. Aber das ist sicher viel zu einfach gedacht...Geometrisch würde ich die Äquivalenzklassen so beschreiben, dass sie den Abstand für jeden Punkt in der Ebene vom Punkt

(0,0)

berechnen/ darstellen.
Wenn ich nun die Äquivalenzklasse von

(1,0)

darstellen soll, wäre dass ja dann die Strecke vom Punkt

(0,0)

zum Punkt

(1,0)

im Koordinatensystem.
Mit der induzierten Abbildung kann ich gar nichts anfangen...

Also irgendwie kommen mir meine Lösungsansätze wenig wissenschaftlich vor. Ich bitte dringend um Hilfe und würde mich freuen, wenn mir jemand das alles etwas genauer erläutern könnte.
Dankeschön :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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12:40 Uhr, 09.11.2014

Du hast wohl die Relation

(x_{1}, y_{1}) ~ (x_{2}, y_{2}) \Leftrightarrow \sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}} = \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}

auf

ℝ^{2}

gegeben. Also zwei Punkte des

ℝ^{2}

sind genau dann in Relation, wenn sie den selben Abstand zum Ursprung haben. Daraus überlegt man sich doch schnell, dass die Äquivalenzklassen Ursprungskreise sind.

anonymous

12:48 Uhr, 09.11.2014

Hallo,
wie komme ich den von "Sei f:ℝ×ℝ→ℝ die Abbildung mit

f (x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2} .}

" darauf, dass die Relation (x1,y1)~(x2,y2)⇔

\sqrt{x 1^{2} + y 1^{2}} = \sqrt{x 2^{2} + y 2^{2}}

lautet ?

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12:50 Uhr, 09.11.2014

Das musst du schon selbst wissen, ich habe nur gemutmaßt. Schau ins Skript...

anonymous

13:47 Uhr, 09.11.2014

In meinen Vorlesungsaufzeichnungen finde ich wenig dazu, aber ich beginne zu verstehen. Wir haben dazu aufgeschrieben : Sei

f : A \to B

eine Abbildung dann definiere auf A die Relation

~ f

durch

a 1 ~ a 2 \Leftrightarrow f (a 1) = f (a 2)

. Das ist genau das, was ich anwende, oder?
Wenn ich nun die Äquivalenzklasse von

(1,0)

ℝ^{2}

darstellen möchte, ist das der Kreis mit dem Radius 1 um den Ursprung?
Die Äquivalenzklassen sind dann

[(x 1, y 1)] = {(x 2, y 2) \in ℝ | \sqrt{x 1^{2} + y^{2}} = \sqrt{x 1^{2} + y^{2}}}

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13:51 Uhr, 09.11.2014

Dann passt meine Interpretation doch.

anonymous

12:15 Uhr, 10.11.2014

Sind meine Ausführungen denn soweit richtig?
Nun weiß ich allerdings nicht was die geometrische Beschreibung der
induzierten Abbildung f(quer):

(ℝ \times ℝ) / ~ f \to ℝ

sein soll. Haben Sie da eine Idee?

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12:49 Uhr, 10.11.2014

Ja stimmen soweit. Sieh doch mal in eurem Skript nach was da zur induzierten Abbildung steht. Da wird wohl einfach jeder Äquivalenzklasse der entsprechende Radius zugeordnet.

anonymous

13:07 Uhr, 10.11.2014

Induzierte Abbildung steht eben leider nirgendwo im Skript.

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20:30 Uhr, 10.11.2014

Dann kannst du es ja einfach so interpretieren.

anonymous

08:59 Uhr, 11.11.2014

Okay, dankeschön :-)

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16:03 Uhr, 12.11.2014

Bitte ;-)

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