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Äquivalenzklassen

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Tags: Sonstig

sopch aktiv_icon

21:48 Uhr, 07.11.2017

Hallo,

ich habe so meine Probleme Äquivalenzklassen wirklich zu verstehen.

Sei

n \in ℕ

und

P (n)

die Menge aller Primzahlen die Teiler von

n

sind.

Folgende Äquivalenzrelation ist gegeben:

n Δ m : \Leftrightarrow P (n) = P (m)

dabei steht

Δ

für die Relation.

Jetzt will ich die Elemente folgender Äquivalenzklassen aufzählen:

[1], [3], [20]

und

[25]

.

Also dann muss ja gelten:

[n] = {m \in P : m Δ n}

Was ich sehe ist:

m \in ℕ

und

n

muss durch

m

teilbar sein......

Heißt

m = 20

ist

[20]

?

Also muss ich alle Elemente aufzählen die durch

20

teilbar sind?

Lg
sopch

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21:54 Uhr, 07.11.2017

Nein, Du musst alle Elemente finden, welche genau diesselbe Primteiler haben wie

20

.
Dafür muss man zuerst

20

in Primfaktoren zerlegen:

20 = 2^{2} \cdot 5

. Also gilt

P (20) = {2, 5}

.
Jetzt suchst Du alle

m

mit

P (m) = {2, 5}

. Z.B.

10

und

40

haben dieselben Primfaktoren, also gilt

20 \sim 10

und

20 \sim 40

und alle drei liegen in derselben Klasse.

sopch aktiv_icon

22:23 Uhr, 07.11.2017

Das heißt

[20] = {10,20,30,40,50,60,70, ... .}

und

[3] = {3,9,27,33,39,51,57, . .}

[3] = {6,12, ...}

wäre falsch weil 6 und

12

auch durch 2 teilbar wären und nicht nur durch 3?

DrBoogie aktiv_icon

22:40 Uhr, 07.11.2017

Nicht ganz.

[3]

ist einfacher, beginnen wir damit.

P (3) = {3}

, denn das ist der einzige Primteiler von

3

. Welche Zahlen sonst haben nur den Primteiler

3

? Das sind Zahlen der Form

3^{n}

und nur diese. Also gilt

[3] = {3^{n} : n = 1, 2, 3, . . .}

.
Bei

20

haben wir

P (20) = {2, 5}

. Die Zahlen, welche nur diese Primfaktoren haben, sehen so aus:

2^{n} 5^{m}

. Also

[20] = {2^{n} 5^{m}, n = 1, 2, . ., m = 1, 2, . . .}

.
Also eine Liste ist dies nicht so einfach aufzuschreiben, die ersten Elemente sind aber

10, 20, 40, 50

sopch aktiv_icon

22:47 Uhr, 07.11.2017

Dann gucke ich mir nochmal die allgemeine Definition an und versuche alles nachzuvollziehen.
Vielen Dank für deine Hilfe :-)

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