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Äquivalenzklassen einer Teilbarkeitsrelation

Universität / Fachhochschule

Teilbarkeit

Tags: äquivalenzklasse, Äquivalenzrelation, rest, Teilbarkeit

asg-2014 aktiv_icon

09:06 Uhr, 06.11.2017

Hallo,

folgende Frage habe ich:

Aufgabe:
Sei

R = {(a, b) \in ℤ \times ℤ : 6 ∣ a - b}

eine Relation auf

ℤ

.

a) Zeigen Sie, dass

R

eine Äquivalenzrelation ist.

1. Reflexivität:

(a, a) \in R

wegen

6 \cdot 0 = a - a

, also

6 ∣ a - a

2. Symmetrie:
Wenn

(a, b) \in R

, dann

(b, a) \in R

wegen

a - b = - (b - a) \Rightarrow - 6 \cdot p = b - a

3. Transitivität:
Wenn

(a, b), (b, c) \in R

, dann

(a, c) \in R

wegen

a - b = 6 \cdot p

mit

p \in ℤ

b - c = 6 \cdot q

mit

q \in ℤ

a - c = 6 \cdot r

mit

r \in ℤ

a - c + b - b = 6 \cdot r

(a - b) + (b - c) = 6 \cdot r

6 \cdot p + 6 \cdot q = 6 \cdot r

p + q = r

b) Wie sehen die Äquivalenzklassen von

R

aus? Nennen Sie für jede Äquivalenzklasse zwei unterschiedliche Vertreter.

Es sind 12 Äquivalenzklassen:

{0, 6, 12, 18, \dots},

{1, 7, 13, 19, \dots},

{2, 8, 14, 20, \dots},

{3, 9, 15, 21, \dots},

{4, 10, 16, 22, \dots},

{5, 11, 17, 23, \dots},

{0, - 6, - 12, - 18, \dots},

{- 1, - 7, - 13, - 19, \dots},

{- 2, - 8, - 14, - 20, \dots},

{- 3, - 9, - 15, - 21, \dots},

{- 4, - 10, - 16, - 22, \dots},

{- 5, - 11, - 17, - 23, \dots}

Die Äquivalenzklassen der positiven und negativen Zahlen kann ich doch nicht zusammenfügen oder??

Vertreter:

0, 6

1, 7

2, 8

3, 9

4, 10

5, 11

0, - 6

- 1, - 7

usw.

Ist das so richtig?
Wieso steht es in der Aufgabe "zwei unterschiedliche"? Sind zwei Vertreter einer Äquivalenzklasse nicht immer unterschiedlich?

Wie ist die richtige Schreibweise für Vertreter?

Danke vorab

Viele Grüße

Asg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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09:30 Uhr, 06.11.2017

"Die Äquivalenzklassen der positiven und negativen Zahlen kann ich doch nicht zusammenfügen oder??"

Wieso nicht?

Es sind nur 6 Klassen.
a) ist richitg.

asg-2014 aktiv_icon

09:45 Uhr, 06.11.2017

Hallo,

danke für die schnelle Hilfe.

"Die Äquivalenzklassen der positiven und negativen Zahlen kann ich doch nicht zusammenfügen oder??"

"Wieso nicht?"

Wenn ich die dies tue z.B.:

{. . ., - 19, - 13, - 7, - 1, 1, 7, 13, 19, . . .}

dann stimmt die Bedingung

6 ∣ a - b

nicht in jedem Fall:

a = 1; b = - 7

6 ∣ 1 - (- 7) \overset{}{\Leftrightarrow} 6 ∣ 8

, was falsch ist.

Wo ist denn mein Denkfehler?

Danke nochmals

DrBoogie aktiv_icon

09:51 Uhr, 06.11.2017

Du führt sie halt falsch zusammen.
In der Klasse

[1]

liegen alle Zahle der Form

1 + 6 k

, daher liegt da nicht

- 1

, sondern z.B.

1 - 6 = - 5

oder

1 - 18 = - 17

.
Damit sehen die Klassen so aus:

[0] = {. . ., - 12, - 6, 0, 6, 12, . . .}

[1] = {. . ., - 11, - 5, 1, 7, 13, . . .}

[2] = {. . ., - 10, - 4, 2, 8, 14, . . .}

usw.

asg-2014 aktiv_icon

10:28 Uhr, 06.11.2017

Ah! ok - jetzt verstehe ich es :-)

Gibt es bei Angaben von den Vertretern eine besondere Schreibweise oder kann ich einfach so "lose" hinschreiben, wie ich es getan habe?

DrBoogie aktiv_icon

10:38 Uhr, 06.11.2017

Vermutlich geht es auch so, aber normalerweise wird die Klasse des Elements

a

durch

[a]

gekennzeichnet.

asg-2014 aktiv_icon

13:36 Uhr, 06.11.2017

"[...]wird die Klasse des Elements a durch [a] gekennzeichnet"

Ist das nicht die Schreibweise für die Äquivalenzklassen, wie du es oben geschrieben hast?

[0] = {. . ., - 12, - 6, 0, 6, 12, . . .}

Ich meinte die Vertreter an sich. Die sind doch die Elementen der Klasse. Oder verstehe ich es falsch?
Im letzteren Teil der Aufgabe b) steht's:
Nennen Sie für jede Äquivalenzklasse zwei unterschiedliche Vertreter.

Ich habe einfach zwei Vertreter der Klasse am Ende notiert

[0] = {. . ., - 12, - 6, 0, 6, 12, . . .}

Zwei Vertreter

0, 6

[1] = {. . ., - 11, - 5, 1, 7, 13, . . .},

Zwei Vertreter

1, 7

usw.

Noch eine letzte Frage:
Warum steht's in der Aufgabe "... zwei unterschiedliche Vertreter."?
Sind zwei Vertreter einer Klasse nicht immer unterschiedlich?

DrBoogie aktiv_icon

13:47 Uhr, 06.11.2017

"Ich meinte die Vertreter an sich. Die sind doch die Elementen der Klasse. Oder verstehe ich es falsch?
Im letzteren Teil der Aufgabe b) steht's:
Nennen Sie für jede Äquivalenzklasse zwei unterschiedliche Vertreter.

Ich habe einfach zwei Vertreter der Klasse am Ende notiert
Zwei Vertreter
Zwei Vertreter
usw."

Ja, das ist alles richtig.

"Noch eine letzte Frage:
Warum steht's in der Aufgabe "... zwei unterschiedliche Vertreter."?

Ist nur schlechtes Deutsch. :-)
Gemeint ist, dass zweimal dasselbe Element zu nennen nicht reicht, wobei wie sollte man auf die Idee kommen, weiß ich nicht.

asg-2014 aktiv_icon

14:42 Uhr, 06.11.2017

Ok, dann bin ich erleichtert :-)

Dankeschön für die Hilfe.

Liebe Grüße
Asg

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