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Äquivalenzklassen sind disjunkte Teilmengen von X
Universität / Fachhochschule
Relationen
Tags: Äquivalenzklassen, disjunkte Vereinigung, Relation., Zerlegung von X in disjunkte Teilmengen
 
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Aufgabe: Sei eine Menge und eine Zerlegung von in Teilmengen Man zeige folgendes: eine eindeutig bestimmte Äquivalenzrelation ~ auf derart, dass die genau die Äquivalenzklassen sind. Also ich würd sagen, ich muss zunächst eine Äquivalenzrelation auf definieren. Aber wie mach ich das genau? Einfach sei eine Äquivalenzrelation auf ? Ich muss doch auch irgendwie die Bedingung sei falls so dass einbringen, oder nicht? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
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Du kannst natürlich nicht von einer beliebigen Äquivalenzrelation auf ausgehen, sondern musst schon irgendwie die gegebenen verwenden. Wenn dir nicht klar ist, wie du die Relation finden kannst (also die Existenz nachweist), versuch erst einmal den Eindeutigkeitsbeweis (ohnehin ist in solchen Situationen die Eindeutigkeit gerne einfacher als die Existenz). Seien zwei Äquivalenzrelationen auf derart, dass die genau die Äquivalenzklassen sind. Für ist genau dann, wenn und in derselben Äquivalenzklasse liegen, . wenn für dasjenige mit auch gilt. Dasselbe stimmt aber auch für somit gilt . die beiden Relationen stimmen überein. Jetzt ist auch klar, wie man ~ definieren kann: |
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