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Äquivalenzrelation

Universität / Fachhochschule

Tags: Abbildung, Äquivalenzrelation, bijektiv, injektiv, surjektiv

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18:24 Uhr, 11.11.2012

Ich habe Porbleme mit dieser Aufgabe:

Seinen

f : A \to C, g : A \to B

und

h : B \to C

Abbildungen mit f=h°g. °=Kringel
Beweisen SIe dass dann gilt:

a)Die Relation ist eine Äquivalenzrelation auf A.

(Zur Erinnerung:

~_{f :=} {(a_{1}, a_{2}) \in A x A, f (a_{1}) = f (a_{2})})

b) ~_{g \subseteq} ~_{f}

c)

Wenn

g

surjektiv und

~_{g =} ~_{f}

ist, dann ist

h

injektiv.

Ich weiß, dass ich bei einer Äquivalezrelation zeigen muss, dass sie reflexiv (also

\forall x \in A : (a, a) \in R),

symmetrisch

(\forall a, b \in A : (a, b) \in R \leftrightarrow (b, a) \in R)

und transitiv

(\forall a, b, c \in A : (a, b) \in R \land (b, c) \in R \Rightarrow (a, c)

in R)ist. ich weiß auch, dass

a_{1} ~_{f a}_2 : \Leftrightarrow f (a_{1}) = f (a_{2})

.

Ich weiß nur leider nicht, wie ich das auf die Relation

~_{f}

übertragen soll. Hat

~_{f}

was mit den Äquivalenzklassen von

f

zu tun? Und wie ist

~_{g}

definiert?
Ich will auch keinen kompletten Lösungsweg, sondern einen Ansatz bzw eine grobe Vorgehensweise für die drei Teilaufgaben.

Ich wäre dankbar für jede Antwort!!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Clemensum aktiv_icon

20:06 Uhr, 11.11.2012

Moin Blueberry!

Ich verwende (der didaktischen Geschicktheit halber) nun eine verständlichere Schreibweise um dir das Leben leichter zu machen;
Die zu betrachtende Relation stellt also eine Beziehung zwischen den Elementen

a_{1}

und

a_{2}

her. Und zwar lautet sie wie folgt:

a_{1} \sim a_{2} : \Leftrightarrow f (a_{1}) = f (a_{2}) \forall a_{1}, a_{2} \in A

Zeigen sollst du nun, dass

\sim

eine Äquivalenzrelation auf

A

ist.
Zu a):
Ich mache dir die Transitivität vor:
Gelte also

a_{1} \sim a_{2} \land a_{2} \sim a_{3} .

Das ist - per definitionem - äquivalent zu:

f (a_{1}) = f (a_{2}) \land f (a_{2}) = f (a_{3}) .

Offensichtlich gilt nun

f (a_{1}) = f (a_{3}),

also

a_{1} \sim a_{3} .

Zu b)
Wir müssen zeigen, dass

- g : = {(a_{1}, a_{2}) \in A \times A : g (a_{1}) = g (a_{2})} \subseteq - f .

(Beachte, die Definition von

- g

folgt sofort aus der von

- f

, da man

f

als Platzhalter für jede Funktion sehen kann; die Reichweite dieser Definition geht deutlich über die dieses Beispiels hinaus).
Und wie zeigt man, dass eine Menge in einer anderen liegt? In dem man sich ansieht, wer denn in den Mengen wohnt und man muss also zeigen, dass die Bewohner von

- g

auch Bewohner von

- f

sind.

Sei dazu

(u, v) \in - g

beliebig aber fest gewählt. Per Definition von

- g

folgt nun

B ∋ g (u) = g (v) \in B .

Da wir nun in

B

sind, können wir auf beiden Seiten

h

anwenden (das darf man machen, weil ein Definitionselement ja ein und nur ein Bild haben darf!) und erhalten

h (g (u)) = h (g (v)) .

Und wegen

f = h \circ g

folgt schließlich

f (u) = f (v)

und damit

(u, v) \in - f

. Also haben wir gezeigt, dass ein (beliebiger) Bewohner von

- g

tatsächlich auch ein solcher in

- f

ist.

Versuche nun c) selbstständig zu lösen.
Hinweis: Gehe Aufgabe b) genau durch, stelle fest, dass man aufgrund den hiesigen Voraussetzungen (hier in c) ! ) nun die Schlusskette von rechts nach links lesen kann und interpretiere dies dann mit der Definition der Injektivität, indem du den charakteristischen Elementen in

B

irgendwelche Namen gibst.
(Beachte aber, dass man die Surjektivität unbedigt braucht; Wäre nämlich

g

nicht surjektiv, so könnte man aus

h (g (a_{1})) = h (g (a_{2}))

nicht

b_{1} := g (a_{1}) = g (a_{2}) = : b_{2}

für alle

b_{1}, b_{2} \in B

folgern, was ja für die Injektivität strikt verlangt wird)

Gruß,
Clemensum

blueberry aktiv_icon

23:55 Uhr, 11.11.2012

danke, ich glaube ich habs jetzt verstanden :-)

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