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Äquivalenzrelation

Schüler Ausbildungsstätte,

Tags: abzählbar, Äquivalenzrelation, Rationale Zahlen

SoNyu

13:10 Uhr, 22.04.2014

Hi,

ich habe gerade Probleme bei folgender Aufgabe:

Definiere eine zweistellige Relation

V

auf

ℝ

wie folgt:

x V y \Leftrightarrow x - y \in ℚ

Zeige:

V

ist Äquivalenzrelation und jede Äquivalenzklasse besitzt abzählbar viele Elemente.

Mein erstes Problem bei dieser Aufgabe ist, dass ich nicht so recht weiß was meine Relation ist, ich also die Aufgabenstellung nicht ganz verstehe.
Muss ich diese Relation zu erst selber konstruieren?

Oder ist

x - y \in ℚ

meine Relation?

Um meine spätere Relation dann zu prüfen ob es eine Äquivalenzrelation ist muss ich ja gucken ob sie Reflexiv, Symmetrisch und transitiv ist.

Und um zu zeigen, dass jede Äquivalenzklasse abzählbar viele Elemente hat benötige ich eine Injektion von

f : ℕ \to [x V y]

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Bummerang

13:35 Uhr, 22.04.2014

Hallo,

Deine Relation ist durch

x V y \Leftrightarrow x - y \in ℚ

definiert! Du könntest genauso schreiben:

V = {(x, y) \in ℝ^{2} | x - y \in ℚ}

Und jetzt kannst Du

z . B

. die Reflexivität prüfen, indem Du prüfst, ob

x V x

für alle

x

gilt. Das wäre ja Äquivalent dazu, dass für alle

x

gilt, dass

x - x \in ℚ

ist. Ist

x - x \in ℚ

für alle x?

SoNyu

13:44 Uhr, 22.04.2014

Reflexivität:

(x, x) = x - x = 0 \in ℚ

für alle x

Symmetrie:

(x, y) \in ℚ \Rightarrow (y, x) \in ℚ

Hier kann ich ja mit Beträgen arbeiten. (x,y) und (y,x) unterscheiden sich ja nur im Vorzeichen, aber wenn

x - y \in ℚ

ist, dann ist es auch sicherlich

y - x

, weil dann

∣ x - y ∣ \in ℚ

ist und somit auch

y - x

Ich weiß nur nicht so recht wie ich es aufschreiben kann.

Transitivität:

(x, y) \in ℚ

und

(y, z) \in ℚ \Rightarrow (x, z) \in ℚ

Das die Transitivität gilt ist mir zwar intuitiv klar, aber ich weiß auch hier nicht so recht wie ich es am besten formal zeigen kann. Vielleicht mit einer Art Gleichungssystem?

x - y \in ℚ

y - z \in ℚ

Wenn ich beides addiere:

x - z \in ℚ

Bummerang

13:57 Uhr, 22.04.2014

Hallo,

"Symmetrie:

(x, y) \in ℚ \Rightarrow (y, x) \in ℚ

"

Unsinn! Richtig ist:

Symmetrie:

(x, y) \in V \Rightarrow (y, x) \in V

"Hier kann ich ja mit Beträgen arbeiten..."

Besser:

(x, y) \in V \Rightarrow x - y \in ℚ \Rightarrow (- 1) \cdot (x - y) \in ℚ \Rightarrow - x + y \in ℚ \Rightarrow y - x \in ℚ \Rightarrow (y, x) \in V

"Transitivität:

(x, y) \in ℚ

und

(y, z) \in ℚ \Rightarrow (x, z) \in ℚ

"

Selber Unsinn wie bei der Symmetrie!

"Das die Transitivität gilt ist mir zwar intuitiv klar, ..."

Vielleicht so?

(x, y) \in V \land (y, z) \in V \Rightarrow x - y \in ℚ \land y - z \in ℚ \Rightarrow (x - y) + (y - z) \in ℚ \Rightarrow x - y + y - z \in ℚ \Rightarrow x - z \in ℚ \Rightarrow (x, z) \in V

SoNyu

14:02 Uhr, 22.04.2014

Ja, das sieht wirklich besser aus. Danke.
Hab mich mal wieder nicht an die Definition gehalten...

Aber wie sieht es nun mit der anderen Teilaufgabe aus?
Ich weiß nicht wie ich hier eine injektive Abbildung von den natürlichen Zahlen auf eine beliebige Äquivalenzklasse von V angeben kann.

Bummerang

14:03 Uhr, 22.04.2014

Hallo,

Du musst Dir erst einmal klar machen, wie die Äquivalenzklassen aussehen! Was sind denn geeignete Repräsentanten Deiner Äquivalenzklassen?

SoNyu

14:09 Uhr, 22.04.2014

Wir haben ja die Äquivalenzrelation V auf den rationalen Zahlen

ℚ

.

Dann ist

[x]_{V}

für

{y \in ℚ : (x, y) \in E}

Das kommt mir aber wieder wie Unsinn vor...

Bummerang

14:16 Uhr, 22.04.2014

Hallo,

"Wir haben ja die Äquivalenzrelation

V

auf den rationalen Zahlen ℚ."

Ist

V

nicht eine Äquivalenz auf

ℚ,

sondern auf

ℝ

.

"Dann ist

{[x]}_{V}

für

{y \in ℚ : (x, y) \in E}

"

Was ist dabei E? Versuche doch mal rein verbal die Äquivalenzklassen zu bestimmen.

SoNyu

14:22 Uhr, 22.04.2014

Aber die Äquivalenzklassen von V können doch alles mögliche sein.
Meinte wegen alle rationalen Zahlen mit 3 als Nenner, oder alle ungeraden Zahlen, alle geraden Zahlen, ...

Bummerang

14:39 Uhr, 22.04.2014

Hallo,

"Aber die Äquivalenzklassen von

V

können doch alles mögliche sein. "

Naja, nicht alles mögliche! Die Äquivalenzklassen sind disjunkte Teilmengen! Zum Beispiel mal alle rationalen Zahlen. Ganz offensichtlich stehen alle rationalen Zahlen untereinander in Relation, liegen also in der selben Äquivalenzklasse, denn die Differenz zweier rationaler Zahlen ist wieder rational. Andererseits liegen alle

k \cdot π

in unterschiedlichen Äquivalenzklassen, denn

k_{1} \cdot π - k_{2} \cdot π = (k_{1} - k_{2}) \cdot π

ist keine rationale Zahl, wenn

k, k_{1}, k_{2} \in ℚ

. Aber wieder anders nachgedacht, liegen

π + k_{1}

und

π + k_{2}

mit

k_{1}, k_{2} \in ℚ,

beides irrationale Zahlen, in der einer Äquivalenzklasse denn

π + k_{1} - (π + k_{2}) = k_{1} - k_{2} \in ℚ

SoNyu

14:54 Uhr, 22.04.2014

Okay, aber wie kann ich nun allgemein zeigen, dass jede dieser möglichen Äquivalenzklassen abzählbar ist?

Bummerang

15:01 Uhr, 22.04.2014

Hallo,

hast Du nun eine Vorstellung, wie die Äquivalenzklassen aussehen? Wie könnte man die Elemente einer Äquivalenzklasse darstellen? Benutze dazu einen geeigneten Repräsentanten! Wenn Du das hast, kannst Du auch damit rechnen...

SoNyu

15:09 Uhr, 22.04.2014

Eine Vorstellung davon wie die einzelnen Äquivalenzklassen aussehen denke ich schon, aber ich wüsste nicht wie ich das verallgemeinern kann. Dazu kommen mir die vielen möglichen Äquivalenzklassen zu unterschiedlich vor.

Bummerang

15:23 Uhr, 22.04.2014

Hallo,

zäumen wir das Pferd mal von der anderen Seite auf.

x V y \Leftrightarrow x - y \in ℚ

Wenn aber

x - y \in ℚ,

dann heisst das doch nichts anderes als, es existiert ein

q \in ℚ

(natürlich ist dann auch

- q \in ℚ!!!)

so dass

x - y = - q \Leftrightarrow y = x + q

. Mit anderen Worten, man nimmt sich irgendein

x

als Repräsentanten und addiert alle

q \in ℚ

dazu (auch die negativen) und man erhält die gesamte Äquivalenzklasse.

Z . B

. die Null repräsentiert die Äquivalenzklasse der rationalen Zahlen, denn in der Klasse, in der sich eine rationale Zahl befindet, kann sich keine irrationale Zahl befinden, denn sonst wäre irrationale Zahl minus rationale Zahl eine rationale Zahl oder anders ausgedrückt (nach der irrationalen Zahl umgestellt) eine irrationale Zahl als Summe zweier rationaler Zahlen darstellbar. Das widerspricht der Abgeschlossenheit der Addition bei rationalen Zahlen. Eine Äquivalenzklasse mit dem Repräsentanten

x

kann man demzufolge darstellen:

{[x]}_{V} = {y \in ℝ | \exists q \in ℚ

mit

y = x + q}

Diese Gleichheit wäre noch zu zeigen, das macht man einfach mit

{[x]}_{V} \subseteq {y \in ℝ | \exists q \in ℚ

mit

y = x + q}

und

{y \in ℝ | \exists q \in ℚ

mit

y = x + q} \subseteq {[x]}_{V}

Und jetzt hat man auch schon gleich die Bijektion der Elemente einer Äquivalenzklasse auf die rationalen Zahlen (die ja auch "nur" abzählbar sind). Dass es eine Bijektion ist, ist noch zu zeigen (Injektivität, Surjektivität).

SoNyu

15:45 Uhr, 22.04.2014

Danke für die ausführliche Erklärung.
Im Prinzip macht man es also genau so wie zum Beispiel bei Quotientenvektorräumen, wo man die Äquivalenzklasse auch einfach durch

[x]:=x+U

darstellt.

Die Mengengleichheit zeige ich also indem ich annehme, dass

y \in [x]_{V}

ist und dann zeige, dass es auch in der Menge

{y \in R ∣ \exists q \in Q

mit

y = x + q}

und umgekehrt.

Ginge das dann so?

Sei

y \in [x]_{V}

beliebig, dann ist

x - y \in ℚ \Rightarrow \exists q \in ℚ

mit

y = x + q

womit die Hinrichtung bereits gezeigt wäre, die Rückrichtung geht dann eigentlich genau so, bzw. man setzt überall Äquivalenzpfeile.
Oder verstehe ich etwas falsch?

Und als Abbildung nehme ich dann

[x]_{V} \mapsto x + q

Und zeige, dass diese Abbildung injektiv und surjektiv ist?

Bummerang

15:59 Uhr, 22.04.2014

Hallo,

"Ginge das dann so?"

Genau so!

Sei

x \in ℝ

beliebig gewählt und

{[x]}_{V}

die Äquivalenzklasse, die

x

enthält. Und es sei

M_{x} := {y \in ℝ | \exists q \in ℚ : y = x + q}

. Dann gilt für alle

y \in {[x]}_{V}

y \in {[x]}_{V} \Rightarrow x - y \in ℚ \Rightarrow - (x - y) \in ℚ \land y = y + x - x = x + (- x + y) = x + (- (x - y)) \Rightarrow y \in M_{x}

mit

q = - (x - y)

\Rightarrow {[x]}_{V} \subseteq M_{x}

Und für alle

y \in M_{x}

y \in M_{x} \Rightarrow \exists q \in ℚ : y = x + q \Rightarrow x - y = x - (x + q) = - q \in ℚ \Rightarrow x V y \Rightarrow y \in {[x]}_{V}

\Rightarrow M_{x} \subseteq {[x]}_{V}

Zusammen folgt die Gleichheit.

EDIT:

"Im Prinzip macht man es also genau so wie zum Beispiel bei Quotientenvektorräumen, wo man die Äquivalenzklasse auch einfach durch

[x] := x + U

darstellt."

Die reellen Zahlen sind ein eindimensionaler Vektorraum! Natürlich sind die rationalen Zahlen kein Untervektorraum, aber wenn Du Dir die Definition von Quotientenvektorräumen ansiehst, dann sollten Dir mit einem Auge auf die Aufgabenstellung sozusagen die Schuppen aus den Augen rieseln...

EDIT2:

Die Abbildung ist

z . B

. wie folgt: Wähle Dir zu der zu betrachtenden Äquivalenzklasse einen beliebigen Repräsentanten

x

. Zu diesem Repräsentanten

x

definierst Du die Abbildung

f_{x} : {[x]}_{V} \to ℚ

gemäss der Vorschrift:

f_{x} (y) = y - x

. Diese Abbildung ist surjektiv, denn für jedes

q \in ℚ

ist

x + q \in {[x]}_{V}

und

f_{x} (x + q) = (x + q) - x = q

. Damit ist jedes

q \in ℚ

Element des Bildraumes und die Abbildung ist surjektiv. Die Injektivität zeigt man am einfachsten dadurch, dass für

y_{1}, y_{2} \in {[x]}_{V}

mit

y_{1} \neq y_{2}

folgt, dass

y_{1} - x \neq y_{2} - x

und damit natürlich

f_{x} (y_{1}) \neq f_{x} (y_{2})

ist.

SoNyu

16:07 Uhr, 22.04.2014

Schön :-)

Leider kriege ich das mit der Injektivität und der Surjektivität von der Abbildung nicht wirklich hin... Das kriege ich generell nie hin...

Bummerang

16:19 Uhr, 22.04.2014

Hallo,

siehe EDIT2 im vorherigen Post...

SoNyu

16:22 Uhr, 22.04.2014

Und damit wäre ich mit dieser Aufgabe fertig?

Eigentlich ist da gar nicht schwer gewesen. Ich denke immer wenn ich surjektivität und injektivität höre, bzw. wenn ich selber eine Abbildung angeben soll die dieses leisten glaube ich grundsätzlich zu kompliziert und denke ich müsste mit "schweren Geschützen" antanzen...

Bummerang

16:29 Uhr, 22.04.2014

Hallo,

"Und damit wäre ich mit dieser Aufgabe fertig?"

Eigentlich schon, vorausgesetzt ist hier natürlich der Beweis, dass die rationalen Zahlen abzählbar sind. Ansonsten müsste man das hier auch noch beweisen. Aber da ich keinen Protest gehört hatte, als ich die rationalen Zahlen als auch "nur" abzählbar bezeichnet hatte, gehe ich davon aus, dass hier tatsächlich Schluss ist! Was die Geschütze angeht, da muss man immer daran denken, dass man die Geschütze letztendlich auch bedienen muss. Da sollte man immer nach etwas einfachem suchen. Und die Definition der Menge mit "y

= x +

q" ist ja eine klare Steilvorlage. Man stellt einfach nach

q

um und hat

y - x = q

. Der einzige "Trick" hier ist, dass man eine Bijektion definiert, die in Abhängigkeit des Repräsentanten ist. Wählt man einen anderen Repräsentanten, dann hat man eine andere Bijektion...

SoNyu

16:33 Uhr, 22.04.2014

Nein, dass die rationalen Zahlen abzählbar und abgeschlossen ist, kann ich voraussetzen.

Ich danke dir vielmals für die Hilfe. Diese Aufgabe ist mir, denke ich, klar geworden.

Vielen Dank.

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