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Äquivalenzrelation

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Relationen

Tags: Relation.

Jn948 aktiv_icon

15:15 Uhr, 15.10.2010

Hallo,

Kann mir bitte jemand erklären, was man unter einer Äquivalenzklasse anhand eines übersichtlichen Beispiels versteht?

Danke im voraus!

m-at-he

15:21 Uhr, 15.10.2010

Hallo,

ja, wikipedia kann das:
de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzklasse#.C3.84quivalenzklassen
Da sind mindestens 4 leicht verständliche Beispiele und die auch noch hinreichend erklärt.

Jn948 aktiv_icon

15:38 Uhr, 15.10.2010

Kannst du die Äquivalenzklasse unter Annahme, dass

R

eine Äquivalenzrelation auf der Menge

M = (1,2,3)

ist, erklären? Und müssen zwei Mengen dieselben Elemente enthalten, damit sie in einer Äquivalenzrelation zueinander stehen?

m-at-he

15:48 Uhr, 15.10.2010

Hallo,

"Kannst du die Äquivalenzklasse unter Annahme, dass

R

eine Äquivalenzrelation auf der Menge

M = (1,2,3)

ist, erklären?" - Nein, das kann niemand ohne die Relation selbst zu kennen!

"Und müssen zwei Mengen dieselben Elemente enthalten, damit sie in einer Äquivalenzrelation zueinander stehen?" - Nein, Äquivalenzrelationen sind wegen ihrer Eigenschaften reflexiv, symmetrisch und transitiv zu sein, immer nur auf einer Menge definiert,

d . h

. sie ist eine Teilmenge des Kreuzproduktes der Menge mit sich selbst.

Jn948 aktiv_icon

16:01 Uhr, 15.10.2010

oh vielmals um Entschuldigung,
hatte ich mir doch gedacht, dass da noch etwas fehlt. Also nehmen wir mal an wie bereits beschrieben, dass

M = (1,2,3)

und

R

belege ich jetzt einfach mal mit den Tupeln

R = (\begin{matrix} 1,1 \\ 1,2 \\ 2,3 \end{matrix})

. Wie kann man nun die Reflexivität, Symmetrie und Transitivität schriftlich und formal darstellen, wenn

R

eine Äquivalenzrelation auf

M

ist. Und falls möglich an diesem Beispiel noch die Funktion Äquivalenzklasse darzustellen?

m-at-he

16:06 Uhr, 15.10.2010

Hallo,

Dein

R

ist nicht reflexiv, es fehlen

(2,2)

und

(3,3),

es ist nicht symmetrisch, es fehlen

(2,1)

und

(3,2),

und es ist nicht transitiv, es fehlt

(1,3)

als Folge von

(1,2)

und

(2,3)

und es fehlt demzufolge auch

(3,1)

wegen der Symmetrie. Dann hat Dein

R

alle 9 möglichen Paare und die Menge selbst besitzt genau eine Äquivalenzklasse bzgl. dieser Relation, das ist die Menge selbst!

Jn948 aktiv_icon

16:35 Uhr, 15.10.2010

Also sprich

R

muss alle Tupeln enthalten, die sich aus dem Kreuzprodukt aus

M

mit sich selbst bilden lassen, damit überhaupt eine Äquivalenzrelation zustande kommt?

m-at-he

16:38 Uhr, 15.10.2010

Hallo,

Nein! Die Relation

(\begin{matrix} 1,1 \\ 1,3 \\ 3,1 \\ 3,3 \\ 2,2 \end{matrix})

ist eine Äquivalenzrelation und es gibt zwei Äquivalenzklassen

{1,3}

und

{2}

. Ebenfalls eine Äquivalenzrelation wäre

(\begin{matrix} 1,1 \\ 3,3 \\ 2,2 \end{matrix}),

die hat 3 Äquivalenzklassen, welche, das dürfte klar sein!

Jn948 aktiv_icon

17:24 Uhr, 15.10.2010

wie kommst du gerade auf die zwei Äquivalenzklassen

(1,3)

und

(2)

? Desweiteren, kannst du mir gerade mal in dem Beispiel

R = {(1,1), (2,2), (3,3)}

zeigen, dass es sich um eine Äquivalenzrelation zu

M

handelt. Ich erkenne die Reflexivität mit

1 = 1, 2 = 2,

und

3 = 3,

nur wo ist die Symmetrie und vor allem die Transitivität?

m-at-he

17:29 Uhr, 15.10.2010

Hallo,

offensichtlich liegt die

2

in einer Äquivalenzklasse, in der keine anderen Elemente der Menge vorkommen, denn die 2 steht mit keinem anderen Element in Relation! Ebenso offensichtlich liegen 1 und

3

in einer Äquivalenzklasse. Da Äquivalenzklassen die Eigenschaft haben, die Menge vollständig in Äquivalenzklassen aufzuteilen, ist man hier bereits am Ende angekommen!

Jn948 aktiv_icon

17:50 Uhr, 15.10.2010

ausgehend von deiner ersten Äquivalenzrelation, ist mir die Reflexivität klar, nur wo sind die beiden anderen Eigenschaften einer Äquivalenzrelation. Dasselbe auch bei deiner zweiten Äquivalenzrelation??

hagman aktiv_icon

18:03 Uhr, 15.10.2010

Wenn in dem Beispiel

(x, y) \in R,

dann

y = x,

also auch

(y, x) = (x, y),

also

(y, x) \in R

.

Grundsätzlich gilt auch, wenn

M

irgendwie in Äquivalenzklassen

M_{i}

zerlegt ist (also in disjunkte nichtlere Teilmengen, die ganz

M

abdecken), die Relation "

x

und

y

liegen in einer gemeinsamen Äquivalenzklasse" doch ganz offensichtlich eine Äquivalenzrelation:

1)

Für jedes

x \in M

gibt es ein

M_{i}

mit

x \in M_{i},

denn es soll ja

M = ⋃ M_{i}

gelten. Damit liegen

x

und beide in

M_{i},

also "

x

und

x

liegen in einer gemeinsamen Äquivalenzklasse"

2)

Angenommen "

x

und

y

liegen in einer gemeinsamen Äquivalenzklasse", dann doch auch "

y

und

x

liegen in einer gemeinsamen Äquivalenzklasse"

3)

Angenommen "

x

und

y

liegen in einer gemeinsamen Äquivalenzklasse" und "

y

und

z

liegen in einer gemeinsamen Äquivalenzklasse".

D . h .,

es gibt eine Klasse

M_{i}

mit

x \in M_{i}

und

y \in M_{i}

und es gibt eine Klasses

M_{j}

mit

y \in M_{j}

und

z \in M_{j}

. Wegen

M_{i} \cap M_{j} = \emptyset

für

M_{i} \neq M_{j}

und wegen

y \in M_{i} \cap M_{j}

folgt

M_{i} = M_{j},

also gilt

x \in M_{i}

und

z \in M_{i}, d . h

. "

x

und

z

liegen in einer gemeinsamen Äquivalenzklasse"

m-at-he

18:08 Uhr, 15.10.2010

Hallo,

die Symmetrie sagt nur aus, wenn

(a, b)

in der Relation sind, dann auch

(b, a)

. Die reflexiven Paare sind natürlich in beiden Richtungen enthalten. Bei der ersten ist als einzige nicht reflexive Paare

(1,3)

und

(3,1)

enthalten. Und zu beiden existieren die symmetrischen Paare. Also liegt Symmetrie vor! Und die Transitivität ist genauso: Wenn

(a, b)

und

(b, c)

in der Relation sind, dann muß auch

(a, c)

in der Relation sein. Im ersten Fall kannst Du alle Möglichkeiten für Paare mit einem gemeinsamen Element bilden:

(1,1), (1,1)

(1,1), (1,3)

(1,3), (3,1)

(1,3), (3,3)

(3,1), (1,1)

(3,1), (1,3)

(3,3), (3,1)

(3,3), (3,3)

Und Du siehst, daß sich die ergebenden Paare ebenfalls in der Relation befinden. Damit ist die Relation auch transitiv. Und bei der zweiten Relation ist es sehr einfach. Es gibt keine "gemischten Paare" und reflexive Paare sind immer symmetrisch. Und weil es keine gemischten Paare gibt, kann man auch nur solche Paar-Paare

(a, a)

und

(a, a)

für die Transitivität herauspicken und dann folgt, daß

(a, a)

(das erste a ist das erste a aus dem ersten Paar, das zweite a ist das zweite a aus dem zweiten Paar) in der Relation sein muß und das ist ja wegen der Reflexivität gegeben.

Ich habe das Gefühl, daß Du diese 3 grundlegenden Begriffe nicht wirklich beherrscht, das ist aber notwendig, um mit ihnen zu arbeiten! Man kann nicht Dinge verstehen, die auf nicht beherrschten Grundlagen aufbauen! Was wir hier gerade treiben ist nicht das Beschäftigen mit einem Problem, was der Sinn dieses Forums ist, was wir hier machen ist Nachhilfe bei Grundlagen und das funktioniert nicht in einem Ping-Pong mit mehreren Minuten Freilauf dazwischen. Außerdem habe ich jetzt vor, in das verdiente Wochenende zu starten. Noch viel Spaß, vielleicht findet sich ein anderer mit zu viel Zeit und ausgeprägtem Geltungsbedürfnis!

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