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Äquivalenzrelation

Universität / Fachhochschule

Tags: Äquivalenklassen, Äquivalenzrelation, Ebene, mengen

Niezi aktiv_icon

16:32 Uhr, 18.06.2009

Hallo ihr lieben,

ich muss am Dienstag mal wieder das Mathe Ü-Blatt abgeben und hab ganz große Probleme mit den ersten beiden Aufgaben. Die lauten so:

Aufgabe 1. (Äquivalenzrelationen

1)

Wir betrachten die ebene und die Menge aller Geraden der Ebene. Welche der folgenden Relationen sind Äquivalenzrelationen? Begründen Sie Ihre Antwort.

a)

„parallel sein“

b)

„senkrecht stehen“

c)

„sich schneiden“
Im Falle, dass eine Äquivalenzrelation vorliegt, geben Sei eine Beschreibung der
Äquivalenzklassen.

Ich weiß zwar das Äquivalent bedeutet, dass diese Aussagen die Eigenschaften der Reflexivität, Transitivität und Symmetrie erfüllen müssen, kann das aber nicht anwenden. Steh hier völlig auf dem Schlauch!

Aufgabe 2. (Äquivalenzrelationen

2)

Wir betrachten die Menge der Paare ganzer Zahlen

(z, n),

wobei wir

n

ungleich Null voraussetzen. Dann definieren wir eine Relation:

(z, n) ~ (z', n') \Leftrightarrow

zn'= nz'
Untersuchen Sie, ob es sich dabei um eine Äquivalenzrelation handelt. Falls ja, wie könnte man die Äquivalenzklassen beschreiben? Könnte man den Fall,

n = 0

unbeschadet zulassen?

Hier erkenne ich das Kommutativgesetz der Multiplikation, aber hat das wirklich etwas mit der Aufgabe zu tun?

Brauche mal wieder eure Hilfe.
Danke schonmal im Vorraus

Gruß
Niezi

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Abstand Punkt Ebene
Ebenen in Normalenform
Ebenen in Parameterform
Lagebeziehung Ebene - Ebene

KarlaKolummna aktiv_icon

10:09 Uhr, 19.06.2009

Also, ich muss das gleiche machen. Sind wohl in der gleichen VL;-)

Ich habe zu

1 a) (a

parallel

b)

herausgefunden dass es eine Äquivalenzrelation ist,
denn
1. a ist parallel zu sich selbst

\to

reflexiv

2. wenn a parallel zu

b

ist ist

b

auch parallel zu

a \to

symmetrisch

3. wenn a parallel zu

b,

und

b

parallel zu

c

ist, ist a auch parallel zu

c

.

ich weiß jetzt nicht, ob man das noch beweisen muss (das ewige leid oder?)und wie die klassen aussehen weiß ich auch nicht...:(

Ich schau hier immer mal wieder rein und sage dir wenn ich was Neues habe. Okay?

Niezi aktiv_icon

13:16 Uhr, 20.06.2009

Super Danke!

Das hilft ja schonmal weiter und jetzt denke ich, weiß ich auch wie die Aufgabe gemeint war.
Bei der 2. Aufgabe steh ich aber immer noch aufm Schlauch, wenn da also noch jemand ne Idee hat, bitte melden!!!

Lg

Niezi

Nala85 aktiv_icon

17:26 Uhr, 20.06.2009

Aufgabe 1:
(Äquivalenzrelationen)

a)

„parallel sein“

A =

Die Menger aller Geraden in der Ebene.

R = {(x, y)

AxA

| x

und

y

sind parallel.

}

•reflexiv: Jede Gerade ist zu sich selbst parallel.
•symmetrisch: Sind

x

und

y

parallel, so auch

y

und

x

.
•transitiv:

x | | y

und

y | | z

→

x | | z

Daher ist

R

eine Äquivalenzrelation.

b)

„senkrecht stehen“

A =

Die Menge aller Geraden in der Ebene.

R = {(x, y)

AxA

| x

und

y

stehen senkrecht aufeinander.

}

R

ist keine Äquivalenzrelation, denn sie ist nicht reflexiv.
Keine Gerade steht senkrecht auf sich selbst.

c)

„sich schneiden“

A =

Die Menge aller Geraden in der Ebene.

R = {(x, y)

AxA

| x

und

y

schneiden sich.

}

g

und

h

schneiden sich, wenn sie verschieden sind und es

P

gibt mit

P



g

und

P



h

.
Bezeichnung:

P =

gh.

•reflexiv: Jede Gerade ist zu sich selbst parallel.
•symmetrisch: Schneiden sich

x

und

y,

so auch

y

und

x

•transitiv: schneiden sich

x

und

y

und

y

und

z

so schneiden sich auch

x

und

z

Daher ist

R

eine Äquivalenzrelation.

Ich habe Aufgabe 1 so gemacht. (bin auch beim Vokert in Mathe :-) )

a)

und

b)

habe ich so im web gefunden.

c)

also die mim schneiden habe ich selber analog versucht.
Kann mir einer sagen, ob das so richtig ist?!

Und hat jmd eine Idee zu Aufgabe 2?
Da habe ich leider gar keine Ahnung was man da machen muss...

DANKE

Rentnerin

17:59 Uhr, 20.06.2009

Hallo,

bei Aufgabe 2) handelt es sich um die rationalen Zahlen (z:Zähler, n:Nenner). Dann ist doch klar, dass z.B. (z,n)~(z,n), da ja schließlich zn=zn ist. Bei der Transitivität musst Du einen kleinen Trick anwenden (mit dem mittleren Nenner multiplizieren!), damit Du sie nachweisen kannst. Durch diese Zahl muss zum Schluss wieder dividiert werden, und daher darf der Nenner nicht 0 werden.

(a,b)~(c,d) also ad=bc,
(c,d)~(e,f) also cf=ed und damit

adf=bcf=bed. Nach Division durch d entsteht af=be also (a,b)~(e,f).

Gruß Rentnerin

KarlaKolummna aktiv_icon

13:25 Uhr, 21.06.2009

Habe eine Frage zu Aufgabe

1 c)

kann eine Gerade sich selbst schneiden??? Nein oder?
Dann wäre sie nicht reflexiv und es wäre keine Äquivalenzrelation

und zu

a)

wie heißen die Äquivalenzklassen? Heißt sie vielleicht

g

(mit nem Strich drüber) = Menge aller zu

g

parallelen Geraden?

Niezi aktiv_icon

11:45 Uhr, 22.06.2009

Ich glaube auch nicht, dass "sich schneiden" reflexiv sein kann. Da eine Gerade sich nicht selber schneiden kann. Und Transitiv muss es auch nicht unbedingt sein. Also keine Äquivalenzrelation.

Aber hab immer noch Probleme mit den Klassen. Vielleicht kann da ja noch ein anderer helfen!

Lg
Niezi

Niezi aktiv_icon

11:45 Uhr, 22.06.2009