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Äquivalenzrelation Lösung richtig?

Universität / Fachhochschule

Relationen

Tags: Relation.

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14:20 Uhr, 12.04.2016

Hallihallo,
ich bin momentan dabei für meine Matheklausur zu lernen und haben nun diese wunderschöne Übungsaufgabe vor mir.
Ich habe mich damit nun auch schon etwas länger auseinandergesetzt und wüsste nun gerne ob mein Lösungsansatz stimmt oder ob ich komplett auf dem Holzweg bin.

Aufgabe 8
Sei

T

die folgende Relation auf

ℝ :

T = {(x, y) \in ℝ \times ℝ |

x−y

\in ℤ}

(a)

Untersuchen Sie ob

(0,0), (0,1), (\frac{1}{2}, 1), (\frac{1}{2}, \frac{5}{2}), (2 π, π)

Elemente von

T

sind.

(b)

Zeigen Sie, dass

T

eine Äquivalenzrelation ist,

d . h

. zeigen Sie die Eigenschaften reﬂexiv, symmetrisch und transitiv.
Tipp: Für die Reﬂexivität müssen Sie

(x, x) \in T

zeigen, wobei

x \in ℝ

beliebig ist.

(c)

Geben Sie die Äquivalenzklassen von 0 und

\frac{4}{3}

an.
Tipp: Die Äquivalenzklassen sind Teilmengen von R.

Zu

(a) :

Das ist mir Sonnenklar. Ich überprüfe rechnerisch ob die Relation erfüllt wird:

0 - 0 = 0 \in T

0 - 1 = - 1 \in T

\frac{1}{2} - 1 = - \frac{1}{2} \notin T

\frac{1}{2} - \frac{5}{2} = - \frac{4}{2} = - 2 \in T

2 π - π = π \notin T

(b) :

Hier bin ich mir nun nicht mehr ganz sicher ob ich das richtig habe:
Reflexiv:

(x, x) \in T

für alle

x \in ℝ

Auf die Relation gesehen

x - x = 0 \in T,

also trifft die Reflexivität zu.
Beispiel zu Tupeln

(0,0)

und

(\frac{1}{2}, \frac{5}{2})

aus

(a) :

0 - 0 = 0 \in T;

\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0 \in T

Symmetrisch: wenn

(x, y) \in T,

dann muss auch

(y, x) \in T

Auf die Relation gesehen wenn

x - y \in T,

dann muss auch

y - x \in T

Beispiel zu Tupeln

(0,1)

und

(\frac{1}{2}, \frac{5}{2})

aus

(a) :

0 - 1 = - 1 \in T

und

1 - 0 = 1 \in T;

\frac{1}{2} - \frac{5}{2} = - 2 \in T

und

\frac{5}{2} - \frac{1}{2} = 2 \in T

Transitiv: wenn

(x, y) \in T

und

(y, z) \in T,

dann muss auch

(x, z) \in T

Auf die Relation gesehen wenn

x - y \in T

und

y - z \in T,

dann muss auch

x - z \in T

Beispiel zu Tupeln

(0,1)

aus

(a)

und zusätzlich

(1,4)

und

(0,4) :

0 - 1 = - 1 \in T

und

1 - 4 = - 3 \in T

und

0 - 4 = - 4 \in T

(c) :

Die Äquivalenzklasse von

[0] = {ℤ}

Die Äquivalenzklassen von

[\frac{4}{3}] = {..., - \frac{5}{3}, - \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{4}{3}, \frac{7}{3}, ...}

So das währe es dann :-D)
Ich hoffe mir kann jemand sagen ob ich richtig bin.

Danke und liebe Grüße
Jan

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."