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Äquivalenzrelation auf R bilden

Universität / Fachhochschule

Relationen

Tags: Äquivalenzrelation, reflexiv, Relation., symmetrisch, transitiv

Brotkruste aktiv_icon

12:58 Uhr, 29.11.2018

Hallo,

ich habe folgende Menge gegeben

A := {a, b, c, d, e, f}

und die Relation

R := {(a, b), (b, c), (c, c), (c, d), (b, f), (f, e), (e, e)}

.

Ich soll

R

zu einer Äquivalenzrelation machen, komme jedoch ständig durcheinander.

Reflexivität:

(a, a), (b, b), (d, d), (f, f)

Symmetrie:

(b, a), (c, b), (d, c), (f, b), (e, f), (c, a), (f, a), (d, b), (e, b), (f, c), (f, c), (f, d), (a, d), (c, e)

Transitivität:

(a, c), (a, f), (b, d), (b, e), (c, f), (d, f), (d, a), (e, c)

Mag jemand drüberschauen und mir sagen, ob ich was vergessen habe?

Vielen Dank :-)

Gruß Brotkruste

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

13:11 Uhr, 29.11.2018

Hallo,
ich würde nicht angeben, welche Paare man dazutun muss, um eine
Äquivalenzrelation zu erhalten.
Im konkreten Fall kann man ziemlich leicht zeigen, dass die
gesuchte Äquivalenzrelation ganz

A^{2}

ist, also
würde ich dies als Lösung präsentieren und begründen.
Gruß ermanus

P.S.: Es müssten dann insgesamt 36 Paare sein, du hast aber nur 33 ...

Brotkruste aktiv_icon

14:08 Uhr, 29.11.2018

Hallo,

Kann ich schreiben, wenn es zu jeder Kante(x,y)

\in A^{2}

auch eine Kante

(y, x) \in A^{2}

gibt, so erreicht man von jeden Knoten jeden anderen Knoten aus A?. Damit ist

R

genau dann eine Äquivalenzrelation, wenn jedes

(x, y) \in A^{2}

in der Relation

R

enthalten ist?

Die Anzahl der Paare kann man mit

n^{k}

berechnen?

Gruß Brotkruste

ermanus aktiv_icon

15:01 Uhr, 29.11.2018

Also mit dem Symmetrieargument kommst du alleine nicht hin.
Prinzipiell ist es manchmal durchaus sinnvoll eine Relation
als gerichteten Graphen aufzufassen. In unserem Falle dürfte das
aber nicht mehr bringen als die Regeln für eine Äquivalenzrelation
anzuwenden.
Sei

S

die von

R

erzeugte Äquivalenzrelation, d.h. die kleinste
Äquivalenzrelation, die

R

enthält, also

R \subseteq S

Wegen der Transitivität von

S

ergibt sich aus

R

{(a, b) (a, c), (a, d), (a, e), (a, f)} \subseteq S

,
d.h. alle Elemente von

A

liegen in der Äquivalenzklasse von

a

, sind also
sämtlich zueinander äquivalent, d.h.

S = A^{2}

und damit ist
natürlich auch

∣ S ∣ = ∣ A^{2} ∣ = ∣ A ∣^{2} = 6^{2} = 36 .

Brotkruste aktiv_icon

13:40 Uhr, 30.11.2018

Wenn ich das kartesische Produkt von

A^{2}

bilde erhalte ich:

A^{2} = {(a, a}, (a, b), (a, c), (a, d), (a, e), (a, f), (b, a), (b, b), (b, c), ..., (f, f)}

.

Dadurch sind alle Elemente in

R

äquivalent zueinander (wegen: refl., symm., trans.).

Ausgehend von

{(a, b), (a, c), (a, d), (a, e), (a, f)} \subseteq s

kann ich mit Hilfe der Eigenschaften einer Äquivalenzrelation alle anderen geordneten Paare herleiten.

Warum gibt es jedoch nur eine Äquivalenzklasse? Ich hätte jetzt gesagt, dass es auch

[b], [c], ..., [f]

geben muss. Wenn man sich

A^{2}

anschaut ist ja auch zum Beispiel

(b, c), . ., (f, f)

enthalten. Liegt es daran, dass ich aus der kanonischen Projektion

a \mapsto [a]

mit Hilfe der Äquivalenzeigenschaften alle anderen geordneten Paare herleiten kann?

Gruß Brotkruste

ermanus aktiv_icon

13:47 Uhr, 30.11.2018

Hallo,
wenn

(x, y) \in S

, dann sind

x

und

y

äquivalent,
liegen also in derselben Äquivalenzklasse,
d.h. es ist

[x] = [y]

. Da nun alle möglichen Paare in

S = A^{2}

vorkommen, gilt

\forall x, y \in A : [x] = [y]

, also gibt es nur eine Klasse ...

Brotkruste aktiv_icon

13:55 Uhr, 30.11.2018

Hallo ermanus,

ich habe es verstanden.
vielen Dank für deine Hilfe :-).

Gruß Brotkruste

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