Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Äquivalenzrelation bei Matrizen

Äquivalenzrelation bei Matrizen

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Äquivalenzrelation, Matrizenrechnung

Ninad aktiv_icon

10:31 Uhr, 14.06.2014

Hallo zusammen,

es geht um folgende Aufgabe:

Sei

K

ein Körper. Deﬁniere auf

K^{n, m}

die Relation ∼ durch

A ~ B \Leftrightarrow \exists Z \in G L n (K) : A = Z B

.
Wir nennen ∼ Linksäquivalenz und

A

und

B

linksäquivalent, falls

A

∼

B

gilt.

1 .)

Zeigen Sie, dass ∼ eine Äquivalenzrelation auf

K^{n, m}

ist.

2 .)

Finden Sie in jeder Äquivalenzklasse einen besonders einfachen Repräsentanten.

Problem für mich hierbei ist, dass ich noch nie etwas zu Äquivalenzrelationen von Matrizen gemacht habe.

Ich habe jetzt folgenden Ansatz zu

1) :

Für eine Äquivalenzrelation muss gelten

1)

Reflexivität

2)

Symmetrie

3)

Transitivität

Zur Reflexivität habe ich

A ~ A :

Ist erfüllt, indem

Z = I_{n},

denn dann bekommen wir

A = I_{n} A,

also gilt

A ~ A

Bei den anderen weiß ich nicht weiter...
Müsste bei der Symmetrie dann sowas gezeigt werden:

A ~ B \Rightarrow B ~ A,

also wenn gilt

\exists Z \in G L_{n} (K) : A = Z B,

dann gibt es auch ein

Z_{2} \in G L_{n} (K)

mit

B = Z_{2} A

??

Und bei der Reflexitvität, wie sieht das dann da aus?

Danke schonmal für jede Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

10:47 Uhr, 14.06.2014

Reflexivität ist richtig.
Bei der Symmetrie nutze aus, dass

Z

invertierbar ist, weil aus

G L (n)

.
Transitivität ist sehr einfach, ich verstehe nicht, wo das Problem ist.

Ninad aktiv_icon

11:05 Uhr, 14.06.2014

Das Problem ist, dass ich mir noch nicht genau vorstellen kann, wie eine Äquivalenzrelation mit Matrizen aussieht. Bin noch neu im Studium und hatten das bis jetzt nur bei Mengen, also mit Tupeln.

Könnte ich bei der Symmetrie direkt schreiben:

Wenn gilt:

A = Z B,

dann folgt

B = Z^{- 1} A,

oder muss ich da jetzt noch genauer beweisen, dass das auch stimmt?

Und zur Transitivität:

A ~ B

und

B ~ C \Rightarrow A ~ C,

also heißt das dann in Bezug auf die Aufgabe

A = Z B

und

B = Z_{2} C \Rightarrow A = Z_{3} C

oder wie genau?

DrBoogie aktiv_icon

11:28 Uhr, 14.06.2014

Aquivalenzrelation ist definiert auf beliebigen Mengen, egal, ob es Tupel, Matrizen, Wolken im Himmel oder Stühle bei IKEA sind. :-)

"Wenn gilt:

A = Z B

, dann folgt

B = Z^{- 1} A

, oder muss ich da jetzt noch genauer beweisen, dass das auch stimmt?"

Da gibt's nicht mehr zu beweisen, nur vielleicht richtig aufzuschreiben:

A \sim B = > \exists Z

mit

A = Z B = > B = Z^{- 1} A = > B \sim A

.

"

A = Z B

und

B = Z_{2} C \Rightarrow A = Z_{3} C

oder wie genau?"

Auch hier heißt es: richtig aufschreiben:

A \sim B, B \sim C = > \exists Z

und

Z_{2}

mit

A = Z B

und

B = Z_{2} C = > A = Z (Z_{2} C) = (Z Z_{2}) C = > A \sim C

Ninad aktiv_icon

11:40 Uhr, 14.06.2014

Ah okay, das macht Sinn :-)

Und zur Aufgabe

2)

Finden Sie in jeder Äquivalenzklasse einen Repräsentanten.

Was sind denn hierbei jetzt die verschiedenen Äquivalenzklassen?

DrBoogie aktiv_icon

11:54 Uhr, 14.06.2014

Das ist nicht so einfach. Alle invertierbaren Matrizen gehören klar zu einer Klasse, die einfachste Matrix aus dieser Klasse ist die Einheitsmatrix.
Aber bei den anderen Matrizen ist es viel komplizierter. Durch Multiplikation von links mit Elementarmatrizen kann man eine Matrix auf die Treppenform bringen. Daher ist jeder Matrix äquivalent zu ihrer Treppenform. Dann kann man durch Multiplikation von rechts mit Elementarmatrizen die Treppenform auf die Diagonalform bringen, deshalb ist jede Matrix zu einer Diagonalform äquivalent. Und am Ende kann man auch alle Werte auf der Diagonale auf

1

oder

0

bringen. Also ist jede Klasse durch den Rang der Matrizen definiert und der einfachste Repräsentant ist die Diagonalmatrix

d i a g (1, 1, . . ., 1, 0, 0, . . 0)

.
Das ist nur eine Skizze, aber ich denke, dass der Beweis an sich richtig ist, muss nur etwas ausführlicher dargestellt werden.

Ninad aktiv_icon

13:11 Uhr, 15.06.2014

Okay dann danke für die Hilfe!

plato aktiv_icon

00:15 Uhr, 28.06.2016

Auch wenn die Frage inzwischen alt ist, der Korrektheit halber:
Da es sich bei der Frage um linksäquivalenz handelt, lässt sich nicht jede Matrix auf Diagonalform bringen, sondern nur auf Treppennormalform. Da man weiterhin zeigen kann, dass für zwei Matrizen

A, B \in K^{n, m}

in Treppennormalform gilt

(\exists Z \in G L_{n} (K) : A = Z B) \Leftrightarrow A = B

, ist jede Treppennormalform Repräsentant einer eigenen Äquivalenzklasse.

1314574

1172591

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?