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Äquivalenzrelation beweisen
Universität / Fachhochschule
Relationen
Tags: Äquivalenzrelation, mengen, Relation.
 
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Hallo! Folgende Angabe: Für zwei Mengen schreiben wir falls sie gleichmächtig sind. Beweise, dass dies eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller Mengen definiert. Ich habe leider überhaupt keinen Plan wie ich da anfangen soll...ich bitte um eure Hilfe.. lg Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Zunächst was es heißt gleichmächtig zu sein, dann was es heißt Äquivalenzraltaion zu sein. 1. 2. 3. Eigentliche sind diese Sachen (fast zu) offensichtlich. |
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Eine Äquivalenzrelation ist reflexiv, transitiv und symmetrisch. Gleichmächtig ist, wenn es eine bijektive Abbildung gibt hat genau ein Element, also surjektiv und injektiv zugleich) Aber ich weiß immer noch nicht weiter... |
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Also zunächst, zwei Mengen und heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung zwischen ihnen gibt, soweit so gut. Eine Äquivalenzrelation ist reflexiv, symmetrisch und transitiv, auch gut. Dann beginne doch einmal. Sei eine beliebige Menge zu zeigen ist das ist natürlich klar, aber ich denke der Sinn der Übung ist es die Definition zu benutzen. Kannst du die Definition einbringen, also eine soclhe bijektive Abbildung? |
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Wenn eine Abbildung von den Mengen nach abbildet (also ist sie genau dann bijektiv, wenn für alle genau ein mit existiert. Ich habe überhaupt keinen Plan was ich da machen soll... lg |
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Es ist einfacher als du denkst. Um zu zeigen, dass zwei Mengen gleichmächtig ist, musst du "nur" eine bijektive Abbildung angeben. Gibt es eine bijektive Abbildung ? |
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Bei einer bijektiven Abbildung werden ja jedem Element der Urbildmenge genau einem Element der Bildmenge zugeordnet, bei sind die identisch, somit gleichmächtig? |
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Sicher ist zu sich selbst gleichmächtig, die Formulierung gefällt mir aber noch nciht ganz. Ein Beispiel: Sei Dann veranschaulichen wir das: Links steht rechts steht kannst die Elemente so zuordnen, dass die Abbildung bijektiv ist, das bedeutet salop, jedem Element rechts muss ein linkes Element zugeordnet werden und jedes Element links muss ein anderes Element aus der rechten Menge bekommen, also keine verschiedenen dürfen dieselben haben. Wie kannst du das ganz einfach bewerkstelligen? |
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Mit der Reflexivität? Heißt jedes rechte Element ist auf das gleiche linke Element zugeordnet und umgekehrt, also |
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Aha, dieser Fall hat auch einen Namen, vielleicht sagt dir "Identitäsfunktion" oder "Identitätsabbildung" etwas? Damit ist klar, dass es eine bijektive Abbildung von nach gibt und somit ist die Relation schonmal reflexiv. Was heißt nun symmetrisch? |
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Symmetrisch bedeutet, wenn für alle gilt Da in der (Beispiel-)Relation jedoch nicht sowas vorkommt wie etc., ist die Relation schon symmetrisch. Transitiv: Da in der (Beispiel-)Relation auch nicht sowas vorkommt, ist die Relation auch schon transitiv. Und somit ist es eine Äquivalenzrelation |
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Hm, Also wir betrachten belibige Mengen du musst nun zeigen: also ist gleichmächtig zu was bedeutet, dass? Und wie kannst du es hinbekommen, dass dann auch sein muss? |
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Wenn sie gleichmächtig sind, haben sie die gleiche Anzahl an Elementen, dh eine bijektive Abbildung ist möchlich. |
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So, Es gibt also eine bijektive Abbildung sagen wir von nach es gibt eine Eigenschafft die nun hat, welche? Am Ende wollen wir ja eine bijektive Abbildung von nach haben. |
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hat genau eine Umkehrfunktion (Wegen der symmetrie) |
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Symmetrie ist falsch und gilt ja noch nicht. hat eine Umkehrabbildung, das liegt aber daran, dass bijektiv ist. Also und bijektiv, dann gibt es und ist auch bijektiv, also auch Die Relation ist symmetrsich. Alles klar? Für Transitivität, benutzt man ebenfalls die bereits bekannten bijektiven Abbildungen. |
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Sei eine Menge, die gleichmächtig mit bzw. ist Wenn und gelten, dann gilt auch Relation ist transitiv? |
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Naja, du nimmst an dass gleichmächtig zu ist und sagst dann dass gleichmächtig zu ist (was nach Symmetrie gilt) und folgerst Transitivität. Das ist leider kaum zu gebrauchen. Beginne so: Wir betrachten beliebige Mengen Seien nun gleichmächtig zu und gleichmchtig zu zu zeigen ist nun, dass auch gleichmächtig zu ist. Nach Voraussetzung wissen wir, dass es . gibt . usw. |
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Wenn wir die belieben Mengen betrachten, gleichmächtig zu ist und gleichmächtig zu ist, so ist doch nach der Definition der Transitivität auch gleichmächtig zu O? |
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Jap, so ist es, die Frage ist nur ob Transitivität überhaupt gilt, das sollst du ja zeigen. |
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Mir ist nicht klar, wie ich das zeigen soll? So wie oben mit der Tabelle? ?? |
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Nein die Tabelle war ein Beispiel, mit beispielen zeigt man keine Aussage die für alle Mengen gelten soll, das sollte die nur die Identitätsabbildung klar machen. Wie war das denn mit der Symmetrie? Es eine bijektive Abbildung daraus haben wir gefolgert, dass es auch eine gibt von Jetzt sind mir hier: und wir wissen also wieder? |
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Das es eine bijektive Abbildung von gibt, und eine bijektive Abbildung von heißt dann ja auch das es eine bijektive Abbildung von gibt? |
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Tja das kommt drauf an wie eure Vorarbeit ist. Hattet ihr so etwas: Seien und bijektiv, dann ist auch bijektiv Falls nein wäre das zu beweisen, falls ja bist du fertig. |
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Das wurde in der VO schon bewiesen, war ja eine schwere Geburt, aber ich habe es verstanden und im Nachhinein gesagt es ist garnicht schwer. Ich danke dir vielmals für deine Hilfe! LG scbyy (nochmals danke :-) ) |
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Gern geschehen, viel Erfolg weiterhin. |
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