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Äquivalenzrelation/-klassen

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Tags: äquivalenzklasse, Äquivalenzrelation, injektiv, Relation., surjektiv

 
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Sace91

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21:10 Uhr, 22.05.2022

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Guten Abend
Ich saß das Wochenende über an einer meiner Hausaufgaben fest und komme einfach nicht voran. Leider weiß ich nicht mehr was ich tun kann (mir fällt auch kein Ansatz mehr ein) und suche hier verzweifelt nach Hilfe.
Ich bedanke mich im Voraus für jede Hilfe!

HA1
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DrBoogie

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21:26 Uhr, 22.05.2022

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Das sind 5 Punkte, hast überhaupt keine Idee in keinem Punkt? :-O
Sace91

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13:32 Uhr, 23.05.2022

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Ich habe jetzt mittlerweile die ersten beiden Teilaufgaben gelöst bekommen aber bei den letzten 3 Teilaufgaben habe ich wirklich keinen blassen Schimmer wie ich sie lösen kann.
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DrBoogie

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14:18 Uhr, 23.05.2022

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Gut, dann c).

Erstens, warum gibt's diese Abbildung g? Für sie muss gelten f(x)=g(p(x)), und wegen p(x)=[x] führt es zu g([x])=f(x). Also, g muss auf jeden Fall durch diese letzte Gleichung definiert sein.
Die nächste Frage ist - warum ist diese Abbildung wohldefiniert? Denn eigentlich gibt's xy mit [x]=[y], also theoretisch könnte es dazu führen, dass g([x]) zwei unterschiedliche Werte f(x) und f(y) annehmen muss, was natürlich nicht geht bei eine wohldefinierten Abbildung. Also, wir müssen zeigen: [x]=[y] => f(x)=f(y). Das folgt aus: [x]=[y] => xRy => f(x)=f(y). Damit ist durch g([x])=f(x) definierte g völlig ok. :-)
Die letzte Frage ist: warum gibt's nur diese einzige Abbildung g, die f=gp erfüllt?
Nun, sei h eine andere Abbildung XX\R mit f=hp. Dann haben also f(x)=g(p(x))=h(p(x)) für alle x. Also, g([x])=h([x]) für alle [x]. Damit g=h.

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