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Äquivalenzrelation nachweisen

Universität / Fachhochschule

Tags: Äquivalenzrelation

anonymous

12:18 Uhr, 24.11.2020

Hallo, ich bin gerade an diese Aufgabe dran:

Sei

M

eine Menge. Eine Teilmenge

P

von Pow(M) heißt Partition von

M,

falls gilt:
• ⋃A∈P

A = M

und
• für alle

A, B

∈

P

mit A ≠

B

gilt A ∩

B =

∅
Sei die Relation

R

⊆

M

M

wie folgt definiert:

(x, y)

∈

R

⇔ es gibt ein A ∈

P

mit

{x, y}

⊆ A

1. Zeigen Sie, dass

R

eine Äquivalenzrelation ist:

a)

Zeigen Sie:

R

ist reflexiv.

b)

Zeigen Sie:

R

ist symmetrisch.

c)

Zeigen Sie:

R

ist transitiv.

Ich verstehe an sich, was reflexiv, symmetrisch und transitiv bedeutet und wie man dies nachweisen kann, jedoch werde ich aus diesem Beispiel einfach nicht schlau. Wäre super wenn mich jemand in die richtige Richtung bringen könnte.

MfG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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12:25 Uhr, 24.11.2020

Sei

x

beliebig. Es gibt ein

A

, in dem

x

liegt. Dann ist natürlich

{x, x}

eine Teilmenge von

A

, denn

{x, x} = {x}

. Also, ist

R

reflexiv.

Es gelte

(x, y) \in R

. Also gibt's ein

A

mit

{x, y} \subset A

. Aber

{x, y} = {y, x}

, damit gilt

{y, x} \subset A

(y, x) \in R

R

symmetrisch.

Transitivität versuch selbst.

anonymous

12:48 Uhr, 24.11.2020

Und wie beweist man Transitivität ohne ein drittes Element?
Ich habe es bis jetzt so verstanden, dass wenn xRy und yRz, dann auch xRz, wie geht das aber wenn man nur

x

und

y

hat?
Eine Erklärung, wie die Denkweise dann ist würde mir schon reichen.

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12:52 Uhr, 24.11.2020

"Ich habe es bis jetzt so verstanden, dass wenn xRy und yRz, dann auch xRz, wie geht das aber wenn man nur x und y hat?"

Dann gibt's auch nichts zu beweisen. :-)

Du musst beweisen: wenn

(x, y)

R

und

(y, z)

R

, dann auch

(x, z)

R

.
Du nimmst also an, dass du diese 3 Elemente

x, y, z

hast.

anonymous

13:06 Uhr, 24.11.2020

Also nehme ich an, dass

(y, z) \in R,

wodurch

(x, z)

auch in

R,

(x, y) \in R

?
oder habe ich das jetzt komplett falsch verstanden?

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13:07 Uhr, 24.11.2020

Das ist schon richtig, aber noch kein Beweis.
Denn du musst diese konkrete Relation betrachten.

anonymous

14:01 Uhr, 24.11.2020

Ich hab jetzt die letzte Stunde probiert dies irgendwie zu beweisen, bin aber kein Stück weiter gekommen als bei meiner vorherigen Antwort, könntest du das vielleicht netterweise noch etwas konkretisieren?

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15:09 Uhr, 24.11.2020

Seien

(x, y)

und

(y, z)

aus

R

(x, y) \in R

=> es existiert ein

A

, so

{x, y} \subset A

(y, z) \in R

=> es existiert ein

B

, so

{y, z} \subset B

Wir haben:

y \in A \cap B

A \cap B \neq \emptyset

A = B

.
Also liegen alle

x, y, z

A

. Insbesondere gilt

{x, z} \subset A

(x, z) \in R

anonymous

12:55 Uhr, 25.11.2020

Vielen Dank dafür, ich habs jetzt glaub ich verstanden.

Ich bin jetzt bei der weiterführenden Aufgabe:

Wir betrachten nun die Gegenrichtung. Gegeben ist eine Äquivalenzrelation

R

auf
M. Sei Ax

= {y

∣

(x, y)

∈

R}

. Zeigen Sie, dass

P =

{

Ax ∣

x

∈

M}

eine Partition von

M

ist.
Dafür müssen diese 2 Bedingungen geprüft werden:
⋃A∈P

A = M

und
• für alle

A, B

∈

P

mit A ≠

B

gilt A ∩

B =

∅

den 2. Punkt habe ich bis jetzt so:
Ax

= {y | (x, y)

€

R},

also ist

y

/€ R. P=

{

| x

€

M} = {y | x

€

M},

also ist

y

€ M. Dadurch wissen wir

M

∩

R =

∅, also disjunkt. Passt das ?

Bei der 1. Bedingung bin ich mir allerdings nicht sicher was damit gemeint ist. Heißt das, dass die Vereinigung von allen Elementen A aus

P

und

A = M

sein muss?

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13:13 Uhr, 25.11.2020

Das ist ein ziemliches Durcheinander bei dir.
Alleine dass du

M \cap R

schreibst. Was soll das bedeuten?

R

ist eine Teilmenge von

M \times M

. Daher ist

M \cap R

einfach sinnlos.

Richtig wäre es so:
1. Seien

x, y

so, dass

A_{x} \cap A_{y} \neq \emptyset

. Dann gibt's ein

z

, was in beiden

A_{x}

und

A_{y}

liegt. Dann haben

(x, z) \in R

und

(y, z) \in R

. Wegen Symmetrie von

R

folgt

(z, y) \in R

und wegen Transitivität aus

(x, z), (z, y) \in R

folgt

(x, y) \in R

und dann aus Symmetrie folgt

(y, x) \in R

.
Wenn jetzt

w

beliebig aus

A_{y}

, dann gilt

(y, w) \in R

und da wir

(x, y) \in R

haben, folgt aus Transitivität, dass

(x, w) \in R

, also

w \in A_{x}

. Damit gilt

A_{y} \subset A_{x}

.
Wenn jetzt

w

beliebig aus

A_{x}

, dann gilt

(x, w) \in R

und da wir

(y, x) \in R

haben, folgt aus Transitivität, dass

(y, w) \in R

, also

w \in A_{y}

. Damit gilt

A_{x} \subset A_{y}

.
Damit ist gezeigt:

A_{x} \cap A_{y} \neq \emptyset

A_{x} = A_{y}

.

2. Sei

x

beliebig aus

M

. Wegen Reflexitivität von

R

haben

(x, x) \in R

x \in A_{x}

. Also,

M = \cup_{x} A_{x}

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