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Äquivalenzrelation sin/cos

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Relationen

Tags: äquivalent, äquivalenzklasse, Äquivalenzrelation, Relation.

Kumpelblase aktiv_icon

19:30 Uhr, 19.09.2016

Hallo, liebes Forum,

Ich bin neu hier und bräuchte mal etwas Hilfe zum Thema "Äquvalenzrelation".

Die Aufgabe lautet:

"Zeigen sie, dass die folgende Relation auf R(reelle Zahlen) eine Äquivalenzrelation ist:

x - y \to {sin}^{2} (x) + {cos}^{2} (y) = 1

"

Nun habe ich allerdings absolut keine Ahnung, wie ich das anstellen soll. Ich weiß nur, dass die oben stehende Formel gültig ist, wenn nach

{sin}^{2} (x)

und

{cos}^{2} (x)

gefragt ist. So aber stimmt das doch nur, wenn man

x = y

voraussetzt, oder?

Also dass die Relation reflexiv ist, ist ja logisch, da "

{sin}^{2} (x) + {cos}^{2} (x) =

1" ja korrekt ist. Aber wie soll ich das beweisen?

Symmentrisch erklärt sich von selbst.

Transitiv kann sie doch nur sein, sofern vorausgesetzt wird, dass

x = y = z

ist? Sonst wäre das Ergebnis ja nicht 1.

Leider hat der Formeleditor nicht funktioniert, weshalb ich diese vielleicht missversändliche Formelschreibweise verwende. Danke im Voraus für die Antworten!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

19:59 Uhr, 19.09.2016

Hallo Kumpelblase,
Symmetrie ist keineswegs ein Selbstgänger.
Überlege nochmal genau!
Bei Transitivität liegst Du ganz falsch!
Gruß ermanus

Kumpelblase aktiv_icon

20:04 Uhr, 19.09.2016

Symmetrie bedeutet doch in dem Fall

"

{sin}^{2} (x) + {cos}^{2} (y) = 1

" = "

{sin}^{2} (y) + {cos}^{2} (x) = 1

"

oder nicht?

Und wenn ich bei der Transitivität ganz falsch liege, wäre es nett, wenn du mir eine Hilfestellung in dieser Hinsicht geben könntest.

ermanus aktiv_icon

20:07 Uhr, 19.09.2016

Bzgl. der Symmetrie hast Du Recht.
Aber warum sollte die linke Gleichung äquivalent zur rechten sein?
Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

21:22 Uhr, 19.09.2016

Es ist ja

x \sim y \overset{}{\Leftrightarrow} \sin^{2} (x) + \cos^{2} (y) = 1

.
Andererseits gilt ja

\sin^{2} (y) + \cos^{2} (y) = 1

wegen Pythagoras ohnehin.
Aus diesen Gleichungen ergibt sich:

x \sim y

bedeutet nichts anderes als

\sin^{2} (x) = \sin^{2} (y)

und (ebenso)

\cos^{2} (x) = \cos^{2} (y)

.
Nun müsste doch alles ganz einfach werden.
Gruß ermanus

Bummerang

10:14 Uhr, 20.09.2016

Hallo,

man kann das Ganze und

m . E

. soll man das auch rein formal lösen, ohne sich Gedanken darüber zu machen, wie

x

und

y

zusammenhängen müssen, damit sie als Paar zur Relation gehören.

Reflexiv:

{sin}^{2} (x) + {cos}^{2} (x) = 1

(wg. trigonometrischem Pythagoras)

\Rightarrow x ~ x

Symmetrisch: Sei

x ~ y,

also

{sin}^{2} (x) + {cos}^{2} (y) = 1,

dann folgt daraus:

{sin}^{2} (y) + {cos}^{2} (x) = (1 - {cos}^{2} (y)) + (1 - {sin}^{2} (x))

{sin}^{2} (y) + {cos}^{2} (x) = 2 - {sin}^{2} (x) - {cos}^{2} (y)

{sin}^{2} (y) + {cos}^{2} (x) = 2 - ({sin}^{2} (x) + {cos}^{2} (y))

{sin}^{2} (y) + {cos}^{2} (x) = 2 - 1 = 1 \Rightarrow y ~ x

Transitiv: Seien

x ~ y

und

y ~ z,

also

{sin}^{2} (x) + {cos}^{2} (y) = 1

und

{sin}^{2} (y) + {cos}^{2} (z) = 1,

dann folgt daraus:

{sin}^{2} (x) + {cos}^{2} (z) = {sin}^{2} (x) + {cos}^{2} (y) - {cos}^{2} (y) + {cos}^{2} (z)

{sin}^{2} (x) + {cos}^{2} (z) = {sin}^{2} (x) + {cos}^{2} (y) - (1 - {sin}^{2} (y)) + {cos}^{2} (z)

{sin}^{2} (x) + {cos}^{2} (z) = {sin}^{2} (x) + {cos}^{2} (y) - 1 + {sin}^{2} (y) + {cos}^{2} (z)

{sin}^{2} (x) + {cos}^{2} (z) = 1 - 1 + 1 = 1 \Rightarrow x ~ z

ermanus aktiv_icon

10:35 Uhr, 20.09.2016

Hallo,
ich denke, Bummerang hat ganz Recht, wenn er sagt, dass die Aufgabe
rein formal ohne Kenntnis von

x, y, z

gelöst werden soll,
und seine Lösung ist absolut OK.
Mein Vorschlag war ebenfalls rein formal; denn er sollte
deutlich machen, dass hier eine ganz allgemeine
Aussage benutzt werden kann, die an vielen Stellen den Nachweis,
dass eine Relation eine Äquivalenzrelation ist, erspart:

Sei

f

eine Abbildung und sei

\sim

definiert durch

x \sim y \overset{}{\Leftrightarrow} f (x) = f (y)

.
Dann ist

\sim

(geradezu trivialerweise) eine Äquivalenzrelation.

In unserem Falle ist

f (x) := \sin^{2} (x)

.
Gruß ermanus

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