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Äquivalenzrelationen
Schüler
Tags: Äquivalenzrelation, Lineare Algebra
 
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Hallo, kann mir mal jemand sagen, wieso gerade keine Äquivalenzrelation ist? Ich weiß, dass ich auf Reflexivität, Symmetrie und Transitivität prüfen muss, aber ich verstehe das irgendwie nicht wirklich.. Genauso gehts mir bei gerade und bei allen anderen Äquivalenzrelationen, die ich vorliegen habe. Wodrin liegt eigentlich der Unterschied zwischen einer Relation und einer Äquivalenzrelation? Danke für eure Hilfe, Sabine Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Ich denke du betrachtest die natürlichen zahlen. " gerade " erfüllt doch Reflexivität nicht. Überlege dir doch mal warum. " gerade " ist hingegen eine Äquivalenzrelation, denn Reflexivität, Symmetrie und Trasitivität sind erfüllt. Zum Begriff "Äquivalenzrelation" siehe auch hier: de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation |
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gerade (Und die zugrundeliegende Menge ist vermutloich oder Diese Relation ist leider nicht reflexiv, denn gilt nicht. Der Unterschied zwischen einer allgemeinen Relation und einer Äquivalenzrelation ist genau der von dir angesprochene: Eine Relation, die die Eigenschaften Reflexivität, Symmetrie und Transitivität aufweist, ist eine Äquivalenzrelatoin. Aber wie das Beispiel oben zeigt, gibt es durchaus Relationen, die keine Äquivalenzrelationen sind. |
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Richtig, ich betrachte Äquivalenzrelationen auf . gilt nicht, richtig, weil nicht gerade ist. Aber ich habe doch ie Bedingung gerade, also darf ich die doch garnicht wählen.. |
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Du schreibst doch selbst, dass du die Äquivalenzrelation auf betrachtest. Reflexivität heißt in diesem Falle, dass für alle gilt, dass . Das ist hier aber bei den ungeraden Zahlen eben nicht der Fall. |
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Die Reflexivität muß für alle Elemente der Menge gelten, für die die Relation definiert wird, dass ist bei nicht der Fall; anders sieht es im Falle von x~y<=>"x-y ist gerade" auf der Menge der ganzen Zahlen aus: für all aus gilt: Reflexivität: (gerade) Symmetrie: gerade ist gerade Trans.: und gerade und gerade gerade Es ist mit gerade eine Äquivalenzrelation auf gegeben. |
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Okay, aber in der Aufgabe steht eindeutig, dass die Relation auf der Menge der natürlichen Zahlen (der Autor schließe hier die 0 mit ein) betrachtet wird. Dann gilt doch aber nicht die Symmetrie, denn nicht alle Elemente liegen in . Und da die Äquivalenzrelation auf gegeben ist, kann ich doch auch und wählen. Dann wäre aber ungerade... |
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Das hat doch damit nichts zu tun. Du wählst und aus in welchem Zahlenbereich sich dabei bewegt ist sowas von egal. |
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Das mit gerade eine Äquivalenzrelation gegeben ist ist klar geworden. Vermute ich jedenfalls. Ich glaube, du hast noch einen kleinen Denkfehler. Die Existenz eine Äquivalenzrelation sagt nicht das jedes Element der Menge zu jedem Äquivalent sein muss: weil gerade, weil ungerade denn gerade, Auch wenn 5 nicht gilt für alle aus gerade und wie wir gezeigt haben ist dies eine Äquivalenzrelation |
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Ach das ist egal? Gut zu wissen.. Aber dann kann ich doch zufällig so wählen, dayy ungerade ist. Genauso wie ich bei gerade oder/und ungerade wählen kann. |
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ARTMath100: Dann frage ich mal anders: Wieso genau ist gerade nicht Reflexiv? |
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Genau! Wenn Du gezeigt hast, dass für alle aus die Eigenschaften Reflexivität, Symm. und Trans. erfüllt sind, ist durch die, wie auch immer geartete, DEFINITION der Relation eine Äquivalenzrelation gegeben. 2 beliebig aus dieser Menge sind jetzt äquivalent zueinander . 4 und 2 da gerade,oder sie sind nicht äquivalent . 5 und da ungerade. Durch ungerade ist allerdings keine Äquivalenzrelation gegeben, denn gleich gerade und damit wird gegen die Reflexivität verstossen, denn nicht~x. |
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Weil für alle aus gelten muß wenn die Bedingung für ~ aber gerade lautet, dann werden die ungeraden von der Relation ausgeschlossen, das darf nicht sein: FÜR ALLE GILT... Ja die Mathe-Sprache!!! |
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Das macht für mich keinen Sinn... bei gerade werden doch aber auch die und ausgeschlossen, deren differenz ungerade ist... von wegen "für alle gilt".. |
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Für alle gilt Für alle gilt Für alle gilt Das ist mit den "Für alle" gemeint. Und nicht, dass für alle gelten muss dass gerade ist. Klar kann es bei Äquivalenzrelationen auch Zahlen geben, die nicht "in Relation" miteinander stehen. |
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Okay, ich werde das wohl nochmal verdauen.. wenn noch Fragen aufkommen sollten, melde ich mich. Vielen Dank euch bis hierhin! :-) |
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Viel Erfolg |
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Hilfreich ist vielleicht eine geometrische Vorstellung." Ähnlichkeit von Dreiecken" Baustelle 1: wir zeigen, dass mit der Ähnlichkeit von Dreiecken eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller Dreiecke gegeben ist. Ähnlichkeit von Dreiecken soll wie folgt definiert sein: Für alle gilt: (jedes Dreieck ist ähnlich zu sich selbst. Dass ist trivial, wegen: wegen . wegen Damit ist die Ähnlichkeit von Dreiecken eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Dreiecke (aller) BAUSTELLE 2: mit Hilfe dieser Äquivalenzrelation "Ähnlichkeit von Dreiecken" können wir jetzt entscheiden welche Dreicke aus der Menge aller Dreiecke ähnlich zu einander und damit äquivalent sind. Diese 2 Baustellen hast Du bisher immer zusammen gehauen. Das bitte niemals tun! |
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Vielleicht hilft dir auch diese Seite für "Nicht-Freaks": http://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Relation:_%C3%84quivalenzrelation |
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