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Äquivalenz von Metriken

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Maßtheorie

Tags: Maßtheorie, Sonstig

Husteguzel aktiv_icon

18:53 Uhr, 30.04.2016

Guten Abend,

folgende Aufgabe:

Sei $d$ eine Metrik auf $X$ und $d 1$ eine Metrik definiert durch:

$d 1 (x, y) := \frac{d (x, y)}{1 + d (x, y)}; x, y \in X$

Ich soll nun zeigen, dass $d 1$ eine Metrik ist die äquivalent zu $d$ ist.

Als Hinweis ist gegeben:

Zwei Metriken sind äquivalent wenn eine Menge genau dann in der einen Metrik offen ist wenn sie in der anderen offen ist.

Mein Ansatz:

Sei $M \subseteq X$ und offen in $(X, d)$
zu Zeigen: $M \subseteq X$ ist auch offen in $(X, d 1)$

Soweit ich weiß gilt eine Menge als offen wenn sie nur aus inneren Punkten besteht.

Also $x$ innerer Punkt von $M$
$\exists ε > 0 : B ε (x) \subset M$

So ab hier hab ich eigentlich keinen Plan mehr.
Ich würde jetzt sagen $d 1 \leq d$ und wenn $M$ offen in $d$ ist muss es auch offen im kleineren $d 1$ sein. Allerdings stütze ich den Gedanken nicht auf irgendwelche Mathe-Kenntnisse sondern darauf, dass es das erste und einzige ist was mir einfiel.

Aufgrund des gegebenen Hinweises glaube ich aber es muss irgendwas von beiden Seiten aus gezeigt werden.

Sofern das jetzt nicht vollkommener Schwachsinn ist, würde ich mich freuen wenn man mir sagt wie ich mein Idee nun in Mathe umwandle. Sollte dies der falsche Weg sein bin ich für alternativ Vorschläge offen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

11:59 Uhr, 01.05.2016

Hallo,

wir machen mit Deinem Ansatz weiter: Dazu müssen wir noch die Kugeln in $(X, d)$ und $(X, d_{1})$ unterscheiden, also etwa:

$B (x, ε) = {y; d (x, y) < ε}$ und $B_{1} (x, ε) = {y; d_{1} (x, y) < ε}$

Sei $M$ subset $X$ offen in $(X, d_{1})$ . Sei $x \in M,$ dann existiert ein $ε : B_{1} (x, ε) \subset M$ . Damit gilt aber auch $B (x, ε) \subset B_{1} (x, ε) \subset M$ . Denn für $y \in B (x, ε)$ gilt:

$d_{1} (x, y) \leq d (x, y) < ε \Rightarrow y \in B_{1} (x, ε)$

Die Umkehrung ist ähnlich aber technisch etwas komplizierter.

Gruß pwm

Husteguzel aktiv_icon

13:07 Uhr, 01.05.2016

Danke für die Rückmeldung.

Eine Sache irritiert mich gerade.

$d 1$ ist ja kleiner als $d$ . Ich dachte dann müsste $B 1$ auch kleiner als $B$ sein und damit

$B 1 (x, ε) \subset B (x, ε) \subset M$

Ich bin in dem Thema noch nicht besonders gut, vermutlich sehe ich das also gerade falsch?

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