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Äussere und Innere Ableitung

Schüler Maturitätsschule, 13. Klassenstufe

Tags: Ableitung

tamash aktiv_icon

19:46 Uhr, 02.07.2008

Ich muss doch nochmals Fragen, weil ich habe ein riesen Durcheinander mit der Kettenregel der Ableitungen:

Ich verstehe manchmal nicht welches die äussere, und welches die Innere Ableitung ist und verwechsle sie andauernd, vielleicht bin ich auch nur zu müde, aber ich frag doch lieber nochmals nach:

Ich habe folgende Funktionen bekommen, bitte sagt mir ob dies richtig ist: (ich nenne die innere Funktion

i (x

) und die äussere

a (x)

1 .) f (x) =

Sin(x²)

i (x) = sin (x)

a (x) =

x²

2 .) f (x) =

(sin(x))²

i (x) = sin (x)

a(x)=x²

3 .)

f(x)=(sin(x))³ (es ist ein hoch

3)

i (x) = sin (x)

a (x) =

x³ (ist auch ein hoch

3)

4 .) f (x) =

sin(x²+x+1)

i (x) =

sin(x²+x+1)

a (x) =

x²+x+1

so das wärs. Ich verstehe halt immer noch nicht ganz welches die innere und welches die äussere Ableitung ist. Mache das zum ersten mal...

: (

Liebe Grüsse Etienne

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tamash aktiv_icon

19:55 Uhr, 02.07.2008

Sorry ich habe die inneren und die äusseren funktionen gemeint, nicht die ableitungen!!!

MBler07 aktiv_icon

19:55 Uhr, 02.07.2008

Hi

Die äußere ist Außen und die innere in dieser drin:
Beispiel:

f (x) = x^{2} \to f' (x) = 2 \cdot x

\to

Nur eine Funktion, nichts besonderes zu beachten.

f (x) = {(2 + x)}^{2}

\to a (x) = {(i (x))}^{2}

i (x) = 2 + x

f' (x) = a' (x) \cdot i' (x)

f' (x) = 2 \cdot (i (x)) \cdot 1

f' (x) = 2 \cdot (2 + x) \cdot 1

f (x) = sin (x)

\to a (x) = sin (i (x))

i (x) = x

\to f (x) = 1 \cdot cos (x)

f (x) = {(sin (x))}^{3}

\to

Das sind drei Funtionen!

a (x) = {(i (x))}^{3}

i (x) = sin (z (x))

z (x) = x

\to f' (x) = a' (x) \cdot i' (x) \cdot z' (x)

f' (x) = 3 \cdot {(i (x))}^{2} \cdot cos (z (x)) \cdot 1

f' (x) = 3 \cdot {(sin (x))}^{2} \cdot cos (x) \cdot 1

Jetzt verwirrter oder schlauer als vorher?

Grüße

BjBot aktiv_icon

19:59 Uhr, 02.07.2008

Das kannst du immer daran sehen, dass wenn du die innere Funktion in die äußere einsetzt (für das x in der äußeren Funktion), dass dann die Ausgangsfunktion rauskommt.

Beispiel mit der 1. Funktion:
Einsetzen deiner inneren Funktion sin(x) für das x in der äußeren Funktion ergibt (sin(x))² und nicht sin(x²)
Also kann da was nicht stimmen.

Gruß Björn

tamash aktiv_icon

20:03 Uhr, 02.07.2008

Danke, vielmals an beide!!! Nein, ich bin nicht verwirrter, aber müde. ich habe jetzt 5 stunden versucht das mit der kettenregel zu begreiffen, aber irgendwie habe ich immer etwas verkehrt gemacht (die innere mit der äusseren verwechselt und so).
Ich habe euer kommentar gelesn und habe es einigermassen begriffen. mir fehlt halt die übung und ic schau es mir morgen frisch ausgeschlafen nochmals an, dann wird dies schon klappen

〉

Vielen Dank für eure Bemühungen!!!

Liebe Grüsse!

anonymous

20:19 Uhr, 02.07.2008

Bei MBler07 muss es in der 8. Zeile von oben richtig heißen

$f^{'} (x) = a^{'} (i (x)) i^{'} (x)$ .

Bei dir muss es ziemlich zu anfang heißen

f(x)=sin( $x^{2}$ )

i(x)= $x^{2}$ und

a(x)=sin(X).

Die innere Funktion bei einer ineinander geschachtelten Funktion ist die, die

zuerst ausgewertet werden muss.

tamash aktiv_icon

12:36 Uhr, 03.07.2008

OK, habe dies jetzt alles nochmals versucht und bleibe wieder stehen!!

Ich zeige mal was ich gemacht habe, dann können wir das Dureinander in meinem Kopf vielleicht lösen.
Ich war extra nochmals auf einer Internetseite, um mir die Regeln von Verkettungen anzuschauen. Dort steht (Zitat)

"Begriff der Verkettung von Funktionen:
Beispiel:

f (x) = sin (x 2)

bedeutet: Zuerst

x 2 (

”
Inneres“), dann sin davon nehmen (
”
¨außere
Funktion“)
Differenzieren verketteter Funktionen

f (x) = u (v (x)) : f 0 (x) = u 0 (v (x))

v 0 (x)

”
Das A¨ ußere differenzieren und das Innere einsetzen mal das Innere nachdifferenzieren"

OK, soweit so gut, ich versuche es nachzuvollziehen:

f(x)=Sin(x²)

Innere Funktion

i (x) =

x²
Äussere Funktion

a (x) = sin (x)

so jetzt verkette ich:

f' (x) =

Äusseres abgeleitet und Inneres unabgeleitet einsetzen mal Inneres abgeleitet.

f' (x) =

cos(x²) •

2 x

Wunderbar!! Erstes erfolgserlebnis gehabt.

Auch beim zweiten Beispiel

a (x) =

g²

i (x) =

(5x²+3x)

Auch hier verkette ich mit derselben Methode, und siehe, es klappt ich bekomme
2g(5x²+3x)(10x+3)^

So, nun versuche ich mit derselben Methode folgende Funktionen abzuleiten:

f (x) =

(sin(x))²

i(x)=x²

a (x)

sin²

versuche abzuleiten und schon klappt's nicht:

2sin(x²) mal

2 x .

Auch bei (sin(x)³ (hoch drei) mache ich einen Fehler.
sowie bei sin(x²+x+1).

Was mache ich falsch?
Ich hoffe ihr könnt mir es erklären

: (

Dravo5 aktiv_icon

13:10 Uhr, 03.07.2008

Hi,

Ich hab zwar nur die ersten Beiträge dazu überflogen, aber du hast leider noch nicht den Dreh raus, was nun die Innere und was diwe Äußere Funktion ist

Vielleicht hilft dir ja meine Erklärweise
Wenn dir die aber nicht passt, und du damit doch verwirrt wirst, dann bleib bei den Anderen^^

schau dir doch am besten immer das an, was du zuletzt rechnen müsstest, bzw in einem eindachen Taschenrechner zzuletzt eingeben würdest, wenn da nur Zahlen wären

f (x) = {(sin (x))}^{2}

das wäre hier zuletzt das Quadrat
Nun schaust du dir dir an, was sozusagen davor steht, wenn es nicht direkt ein

x

ist, dann ist dieses Quadrat die äußere Funktion

Innen steht nun

sin (x),

das ist die innere Funktion

und nun zum Ableiten, innere Funktion

\cdot

Äußere, das hattest du ja richtig gesagt

i (x) = sin (x)

i' (x) = cos (x)

nun die Äßere, vielleicht bist du auch etwas überfordert, dass das imemr so mathematisch ausgedrückt wird, ich sags mal ganz einfach, du behandelst die innere Funktion jetz so, als wärs ein

x,

nennst es von mir aus im Kopf "irgendwas"
die Anderen nannten es dann immer

i (x),

aber vielleicht passt dir ja so ein ganz einfacher Wortlaut besser

so, jetzt leiten wir "irgendwas" hoch 2 ab

\to 2 \cdot

"irgendwas" und das ersetzen wir wieder mit

sin (x)

und nun multiplizieren wir innere und äußere Ableitung

f' (x) = cos (x) \cdot (2 \cdot sin (x)) = 2 \cdot sin (x) \cdot cos (x)

lg dravo5

tamash aktiv_icon

14:24 Uhr, 03.07.2008

Vielen Dank dravo5.

Nun konnte ich auch die Ableitung von (sin(x))³ bilden.

So wie ich das jetzt verstanden habe, ist immer (wenn es eine Potenz hat) die Potenz die äussere Funktion.

Ausserdem habe ich etwas wichtiges vergessen:

Ich habe nicht daran gedacht, dass ja gilt

f' (x)

von

x^{3} = 3 x^{2}

Deshalb habe ich das nicht lösen können. Folgedessen ist ja

{(sin (x))}^{2} =

2 sin (x)

und

{(sin (x))}^{3}

ist dann ja 3sin(x)^2.

Manchmal liegt

s

an elementarem.

Nun habe ich doch noch eine Frage:

bei der Gleichung

sin (x^{2})

wenn ich das richtig verstanden habe dann ist

sin (x)

die äussere und

x^{2}

die innere Funktion????

es würde aufgehen:

sin abgeleitet und innere Funktion unabgeleitet ergibt

cos (x^{2})

und dann noch die innere Funktion abgeleitet ergibt ja

x^{2}

und das stimmt ja wohl:

cos (x^{2})

mal

2 x

juhui erfolgserlebnis

tamash aktiv_icon

14:27 Uhr, 03.07.2008

5. Zeile: es sollte heissen

x \land 3

ergibt

3 x \land 2

Dravo5 aktiv_icon

17:33 Uhr, 03.07.2008

genau, schau immer, wo die Potenz steht, steht sie außen, dann ist es die äußere Funktion, steht sie innen, die Innere^^

Und jetz bloß nich aufhören, denn jetzt kommt ein Erfolgserlebnis nach dem Anderen^^

tamash aktiv_icon

21:32 Uhr, 03.07.2008

Tja, dann bin ich aber froh

〉

Vielen Dank für deine Hilfe

!!!

Liebe Grüsse

hagman aktiv_icon

21:41 Uhr, 03.07.2008

Ist vielleicht leichter zusehen, wenn du die Potenz nicht als solche schreibst, sondern als eine Funktion a la

sin (x^{2}) =

sin(quadrat(x))

{sin}^{2} (x) =

quadrat(sin(x))

\sqrt{sin (x^{2} + 42 x + 9)} =

wurzel(sin(polynom(x)))

Und wenn du die e-Funktion betrachtest, empfehle ich auch, exp(x) statt

e^{x}

zu schreiben, da auch dann innere und äußere klarer erkennbar werden.
Beispiel

e^{{(x - 1)}^{2}} =

exp

({(x - 1)}^{2}) =

exp(quadrat(subtrahiereeins(x))

tamash aktiv_icon

22:12 Uhr, 03.07.2008

Danke auch dir ! Hab's schon aufgeschrieben:))

Liebe Grüsse

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