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Affin unabhängige Punkte in einem affinen UR

Universität / Fachhochschule

Lineare Unabhängigkeit

Vektorräume

Tags: Lineare Unabhängigkeit, Vektorraum

matheass14 aktiv_icon

11:41 Uhr, 23.11.2014

Hallo, könnt ihr mir bei einer Aufgabe helfen? Sie lautet: Der affine Unterraum

A \subset A 3

sei gegeben durch die Gleichung

2 x_{1} + x_{2} - 3 x_{3} = 1

a) Geben Sie drei affin unabhängige Punkte

a_{1}, a_{2}, a_{3} \in A^{3}

an.
b) Stellen Sie

x = (x_{1}, x_{2}, x_{3})^{t} \in A

als Affinkombination von

a_{1}, a_{2}

und

a_{3}

dar.

Kann ich bei a) Punkte nehmen, die einfach die obige Gleichung erfüllen und deren Verbindungsvektoren linear unabhängig sind?

Ich weiß ja, was eine Affinkombination ist. Muss diese Affinkombination der

a_{1}, a_{2}, a_{3}

dann wieder einfach nur die Gleichung erfüllen oder wie soll ich das verstehen?

Danke im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

13:32 Uhr, 24.11.2014

"Kann ich bei a) Punkte nehmen, die einfach die obige Gleichung erfüllen und deren Verbindungsvektoren linear unabhängig sind?"

Ja.

"Ich weiß ja, was eine Affinkombination ist. Muss diese Affinkombination der a1,a2,a3 dann wieder einfach nur die Gleichung erfüllen oder wie soll ich das verstehen?"

Du musst

x_{1}, x_{2}, x_{3}

als eine Affinekombination von

a_{1}, a_{2}, a_{3}

schreiben. Die Koeffizienten der Kombination werden dann von

x_{1}, x_{2}, x_{3}

abhängen. Es kommt also darauf an, diese Abhängigkeit rauszufinden (man muss dazu ein lineares Gleichungssystem lösen).

matheass14 aktiv_icon

15:50 Uhr, 25.11.2014

Ich habe drei Punkte gefunden, deren Verbindungsvektoren linear unabhängig sind, nämlich:

(\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 0 \\ 0 \end{array})

(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array})

und

(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ - \frac{1}{3} \end{array})

, deren Verbindungsvektoren

(\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ 1 \\ 0 \end{array})

(\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ 0 \\ - \frac{1}{3} \end{array})

sind linear unabhängig

Für die Affinkombination der Punkte muss also dann die Gleichung

2 x_{1} + x_{2} - 3 x_{3} = 1

gelten und

\sum_{i = 1}^{3} λ_{i} = 1

Aber wie verpacke ich das in eine Matrix?

DrBoogie aktiv_icon

16:41 Uhr, 25.11.2014

Da Du zum Glück sehr einfache

a_{1}, a_{2}, a_{3}

rausgesucht hast, ist das Weitere einfach.
Du brauchst eine Darstellung der Form

(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = λ_{1} a_{1} + λ_{2} a_{2} + λ_{3} a_{3}

und da folgt sofort

x_{1} = λ_{1} / 2

x_{2} = λ_{2}

x_{3} = - λ_{3} / 3

, man muss dafür nicht mal die Matrix aufschreiben (Matrix hätte dann Diagonalform). Somit ist

λ_{1} = 2 x_{1}, λ_{2} = x_{2}, λ_{3} = - 3 x_{3}

und die gesuchte Darstellung ist

(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 2 x_{1} a_{1} + x_{2} a_{2} - 3 x_{3} a_{3}

.
Die Gleichung

2 x_{1} + x_{2} - 3 x_{3} = 1

braucht man nicht zu nutzen, sie ist automatische erfüllt.

matheass14 aktiv_icon

18:03 Uhr, 25.11.2014

Vielen Dank für die Hilfe.

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