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Affine Abbildungen
Universität / Fachhochschule
Tags: Lineare Algebra
 
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anonymous 15:12 Uhr, 24.09.2003  |
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Hallo, wie zeigt man die beiden folgenden Aussagen: 1. Die Komposition zweier affiner Abbildungen ist wieder eine affine Abbildung. 2. Sei V ein Vektorraum. Aff(V) := {g: V -> V | g affin, bijektiv} ist mit der Komposition von Abbildungen als Verknüpfung eine Gruppe. Chiao Frauke |
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anonymous 20:53 Uhr, 24.09.2003 |
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Hallo Frauke, hier eine kleine Beweisskizze: Seien f,g affin, dann existieren Matrizen A,B und Vektoren b,c mit f(x) = Ax+b und g(x) = Bx+c, für alle x. Dann gilt: (f o g)(x) = f(g(x)) = A(Bx+c)+b = (AB)x+(Ac+b), wobei natürlich immer vorausgesetzt sei, daß alle Produkte etc. wohldefiniert sind. Die Menge ist eine Gruppe, weil die Veknüpfung zweier affiner Abbildungen wieder affin ist (siehe oben) und die Verknüpfung zweier bijektiver Abb. auch wieder bijektiv ist. Neutrales Element ist die Identität, Inverses ist na- türlich die Inverse der jeweiligen Abbildung (auch diese ist affin), Asso- ziativität gilt, weil dies für Verknüpfungen beliebiger Abbildung gilt. Viele Grüße, Timo |
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anonymous 23:21 Uhr, 24.09.2003 |
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Vielen Dank Timo! Frauke |
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