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Affine Koordinatentransformationen herausfinden

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Matrizenrechnung

Tags: Affine Abbildung, Hyperbel, Koordinatentransformation

half-life aktiv_icon

15:52 Uhr, 28.06.2015

Hallo,

ich verstehe leider die folgende Aufgabe nicht.
Ich soll alle affinen Koordinatentransformationen

y = f (x)

des

ℝ^{2}

berechnen, die die Gleichung der Hyperbel

x_{1}^{2} - x_{2}^{2} = 1

in die Form

y_{1} y_{2} = 1

überführen.

Muss ich also die Gleichung

x_{1}^{2} - x_{2}^{2} = 1

so umformen, dass

y_{1} y_{2} = 1

herauskommt?
Kann ich das so gleichsetzen

x_{1}^{2} - x_{2}^{2} = y_{1} y_{2}

? Aber wie muss ich jetzt weiter umformen um

x_{1}

und

x_{2}

wegzubekommen?

Ich hoffe jemand kann mir weiterhelfen.

MfG
half-life

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Hyperbeln

michaL aktiv_icon

15:59 Uhr, 28.06.2015

Hallo,

> Kann ich das so gleichsetzen

x_{1}^{2} - x_{2}^{2} = y_{1} y_{2} ?

Na,ja, bei so einfachen Transformationen geht es auch auf diese Weise...
Links steht ein Produkt, rechts eine Differenz von Quadraten. Kannst du das links in das rechts umformen?

Ansonsten geht man natürlich lieber den Standardweg:
http://www.mathebibel.de/hauptachsentransformation oder de.wikipedia.org/wiki/Hauptachsentransformation oder Vorlesungsmitschrift

In deinem Fall solltest du die Form

y_{1} y_{2} = 1

"zurück" transformieren (gemäß Quellen) in deine Ausgangsform. Du hättest dann

x = g (y)

und müsstest diese Transformation invertieren.

Mfg Michael

half-life aktiv_icon

16:13 Uhr, 28.06.2015

Hi michaL,

das Thema Hauptachsentransformation verwirrt mich noch etwas. Ich werde auch bei Wikipedia und Sachbüchern nicht schlau...

soweit ich weis hat die Hyperbel doch die form

\frac{x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}} - \frac{x_{2}^{2}}{a_{2}^{2}} = 1

warum sind bei meiner Gleichung keine

a_{1}^{2}, a_{2}^{2}

da? Und wie bekomme ich

x_{1}^{2}, x_{2}^{2}

weg? Substitution vielleicht?

Kannst du mir einen Ansatz verraten?

michaL aktiv_icon

16:21 Uhr, 28.06.2015

Hallo,

> warum sind bei meiner Gleichung keine

a_{1}^{2}, a_{2}^{2}

da?

Typischer Fehler. Sind sie doch! Eben

a_{1}^{2} = a_{2}^{2} = 1

!
Die Gleichung(sklasse) ist allgemein, du hast daraus eine spezielle Gleichung.

> Und wie bekomme ich

x_{1}^{2}, x_{2}^{2}

weg?

Du sollst es nicht "weg" bekommen, nur in die Form eines Produktes bringen. Denke mal an Schule.
Oder du gehst eben doch den Standardweg. (In deinem Spezialfall umständlicher, aber eben auf Nummer sicher.)

Mfg Michael

PS:
> Kannst du mir einen Ansatz verraten?

Direkt nicht, sonst würdest du daran ja nicht lernen. Aber indirekt.

x_{1}^{2} - x_{2}^{2}

...das ruft mir ein Themengebiet aus der Schule zu. Vielleicht in Buchstaben, die du so nicht gewohnt bist. Für den Fall übersetze ich:

a^{2} - b^{2}

...hörst du es nicht auch?

half-life aktiv_icon

19:15 Uhr, 28.06.2015

>Typischer Fehler. Sind sie doch! Eben

a_{1}^{2} = a_{2}^{2} = 1

!

Stimmt, das habe ich glatt übersehen.

Ok, ich habe jetzt die 3. binomische Formel angewendet und bekomme:

(x_{1} + x_{2}) (x_{1} - x_{2}) = 1

somit muss

y_{1} = x_{1} + x_{2}

und

y_{2} = x_{1} - x_{2}

sein. Aber wie geht es weiter? Wie kann ich die Produktform jetzt ausnutzen?

MfG
half-life

half-life aktiv_icon

19:29 Uhr, 28.06.2015

Noch eine andere Frage:
Ist Koordinatentransformation und Hauptachsentransformation dasselbe?

michaL aktiv_icon

21:59 Uhr, 28.06.2015

Hallo,

geht doch.

Wobei man, um genau zu sein, sagen muss, dass deine Koordinatentransformation KEINE Drehung ist. Dazu müsstest du mit dem Faktor

\frac{1}{\sqrt{2}}

skalieren.

WIe geht's weiter:
Die Abbildung

x = (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}) \mapsto y = (\begin{array}{c} x_{1} + x_{2} \\ x_{1} - x_{2} \end{array}) = (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array}) x

ist doch linear?!

Mfg Michael

half-life aktiv_icon

19:32 Uhr, 29.06.2015

Hallo nochmal,

heißt das mein gesuchtes

y = f (x)

ist die Abbildungsmatrix

(\begin{array}{rcl} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array})

?

Und wieso muss ich genau mit dem Faktor

\frac{1}{\sqrt{2}}

skalieren?

LG
half-life

half-life aktiv_icon

15:38 Uhr, 30.06.2015

Ok, hat sich erledigt.

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