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Affine Normalfrom Quadrik Koordinatenursprung

Universität / Fachhochschule

Tags: affine Normalform, hauptachsentransformation, Quadrik

shiroxx aktiv_icon

14:15 Uhr, 23.08.2019

Hallo,

Ich hab folgenden Quadrik gegeben

3 x 1^{2} - 2 x 1 x 2 + 3 x 2^{2} + 6 \sqrt{2} x 1 - 2 \sqrt{2} x 2 - 2 = 0

und habe dazu auch schon die affine Normalform bestimmt jetzt muss ich noch den Ursprung des Koordinatensystems und die Transformation explizit angeben und die Quadrik im Standardkoordinatensystem skizzieren
Leider weiß ich nicht genau wie das funktioniert bzw wo man das ablesen kann

Schon mal Vielen Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

14:46 Uhr, 23.08.2019

Hallo,
was genau bei euch die affine Normalform der Quadrik ist, weiß ich nicht,
nehme aber an, dass das sowas wie

(\frac{u}{a})^{2} + (\frac{v}{b})^{2} = 1

ist für eine Ellipse, vielleicbt auch mit

a = b = 1

.
Zeige doch mal deine Normalform, dann wird es bestimmt klarer.
Ich habe heraus, dass es eine Ellipse ist, habe aber zunächst
nur "etwas unkonzentriert" gerechnet ;-)
Gruß ermanus

shiroxx aktiv_icon

15:40 Uhr, 23.08.2019

Vielen Dank erstmal,
Ich hab das raus nach der quadratischen Ergänzung

4 {(y 1 - \frac{1}{2})}^{2} + 2 {(y 2 + 2)}^{2} - 11

und nach dem Substituieren
folgendes :

\frac{{(z 1)}^{2}}{{((\sqrt{\frac{11}{4}}))}^{2}} + \frac{{(z 2)}^{2}}{{(\sqrt{\frac{11}{2}})}^{2}} - 1

Es kann gut sein, dass ich mich verrechnet hab, aber wie lese ich denn hier, falls es richtig wäre mein neuen Koordinatenursprung ab und weißt du was mit Transformation gemeint ist, ist das quasi das was ich substituiere?

ermanus aktiv_icon

16:07 Uhr, 23.08.2019

Wenn du mir noch sagst, was

y_{1}

und

y_{2}

bei dir sind ...

ermanus aktiv_icon

10:36 Uhr, 24.08.2019

Also ich komme durch quadratische Ergänzung auf

(x_{1} - \frac{1}{3} x_{2} + \sqrt{2})^{2} + \frac{8}{9} x_{2}^{2} - \frac{8}{3} = 0 (*)

Ich habe die Kurven zur Originalgleichung und zur Gleichung

(*)

bei Wolfram Alpha mal plotten lassen und siehe, sie beschreiben dieselbe
Kurve in den Originalkoordinaten (zwecks Plotten habe ich die
Variablen in

x

und

y

umbenannte).
Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

11:55 Uhr, 24.08.2019

Hier als zweiter Vorschlag mit einer Hauptachsentransformation:

T = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array})

,

also

z_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} x_{1} + \frac{1}{\sqrt{2}} x_{2}

z_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} x_{1} - \frac{1}{\sqrt{2}} x_{2}

,

bekomme ich durch quadratische Ergänzung:

\frac{(z_{1} + 1)^{2}}{2^{2}} + \frac{(z_{2} + 1)^{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} = 1

.

Nach der Transformation ist dann der Mittelpunkt

(- 1, - 1)

,
was in den ursprünglichen Koordinaten

(- \sqrt{2}, 0)

bedeutet.
Dies entspricht auch der graphischen Darstellung der Quadrik.

Ich nehme an, dass ihr die Aufgabe so lösen sollt.

Gruß ermanus

shiroxx aktiv_icon

12:58 Uhr, 25.08.2019

Erstmal vielen Dank für die ganze Mühe mir das zu erklären, ich hätte dennoch noch ein paar Fragen, da ich erstmal so vorgegangen bin wie wir es in einem Musterbeispiel im Skript hatten:
Quadrik

= x^{T} \cdot A \cdot x + 2 b^{T} \cdot x + c

ALso zuerst bestimmt man die Transformationsmatrix und eine ONB die die Matrix A auf Diagonalgestalt bringt

Dann substituiert man bei Quadrik

= x^{T} \cdot A \cdot x + 2 b^{T} \cdot x + c

x = U \cdot y

mit

U

als Transformationsmatrix

U^{T} \cdot A \cdot U = D

mit

D

als Diagonalmatrix mit Eigenwerten auf Hauptdiagonalen

y^{T} \cdot D \cdot y + 2 b^{T} \cdot U \cdot y + C = 0

das rechnet man aus und führt hier eine quadratische Ergänzung aus
hier hatte ich dann, auch wenn ich mich verrechnet habe

4 {(y 1 - \frac{1}{2})}^{2} + 2 {(y 2 + 2)}^{2} - 11

Wäre dann hier mein neuer Koordinatenursprung

(\frac{1}{2}, - 2) \cdot

Transoformationsmatrix?

und dann habe ich nochmal substituiert
mit

z 1 = y 1 - \frac{1}{2}

und

z 2 = y 2 + 2

ist das vorgehen so wie ich das mache richtig?
leider verstehe ich nämlich noch nicht alle Schritte, und weiß deswegen nämlich nicht wieso

Vielen Dank

ermanus aktiv_icon

13:22 Uhr, 25.08.2019

Prinzipiell ist deine Vorgehensweise ganz richtig,
auch was den Koordinatenursprung anbetrifft (also den Verschiebungsvektor).
Du hast dich wohl bei der Bestimmung der Transformationsmatrix

U

schwer verrechnet.
Was hattest du denn für die Eigenwerte heraus?

shiroxx aktiv_icon

14:22 Uhr, 25.08.2019

Achso, das ist schon mal gut zu hören

Ich hatte als Eigenwerte 4 und 2 raus und dann als
Eigenräume

E (4) =

span(-1,1) also erster ONB Basis vektor

\frac{1}{\sqrt{2}} (- 1,1)

Und Eigenraum

E (2) =

Span

(1,1)

und somit zweiter ONB Basis Vektor

\frac{1}{\sqrt{2}} (1,1)

Dann sind beide Basisvektoren also Spalten ja meine Transformationsmatrix oder nicht?

shiroxx aktiv_icon

14:22 Uhr, 25.08.2019

Achso, das ist schon mal gut zu hören

Ich hatte als Eigenwerte 4 und 2 raus und dann als
Eigenräume

E (4) =

span(-1,1) also erster ONB Basis vektor

\frac{1}{\sqrt{2}} (- 1,1)

Und Eigenraum

E (2) =

Span

(1,1)

und somit zweiter ONB Basis Vektor

\frac{1}{\sqrt{2}} (1,1)

Dann sind beide Basisvektoren also Spalten ja meine Transformationsmatrix oder nicht?

ermanus aktiv_icon

14:50 Uhr, 25.08.2019

Das sieht prima aus:

dann hast du für die Transformation

U = U^{- 1}

x_{1} = - \frac{1}{\sqrt{2}} y_{1} + \frac{1}{\sqrt{2}} y_{2}

x_{2} = + \frac{1}{\sqrt{2}} y_{1} + \frac{1}{\sqrt{2}} y_{2}

.

Die Quadrikengleichung geht vermittels

U

über in:

4 y_{1}^{2} + 2 y_{2}^{2} - 8 y_{1} + 4 y_{2} - 2 = 0

,
also

4 (y_{1}^{2} - 2 y_{1}) + 2 (y_{2}^{2} + 2 y_{2}) - 2 = 0

,
quadratische Ergänzung liefert:

4 (y_{1} - 1)^{2} - 4 + 2 (y_{2} + 1)^{2} - 2 - 2 = 0

,

schließlich:

\frac{(y_{1} - 1)^{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + \frac{(y_{2} + 1)^{2}}{2^{2}} - 1 = 0

Der Punkt

(1, - 1)

mit

U

multipliziert lefert
den "Mittelpunkt" der Ellipse in Originalkoordinaten

(- \sqrt{2}, 0)

.

Gruß ermanus

shiroxx aktiv_icon

14:57 Uhr, 25.08.2019

Achso dann habe ich es jetzt verstanden!
Vielen vielen Dank!:-)

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