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Affine Räume

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Tags: Gruppen, Tripel, Vektorraum

Chica-Rabiosa aktiv_icon

09:26 Uhr, 11.04.2014

Guten Morgen, ich beschäftige mich mit affinen Räumen. Dazu habe ich folgende Aufgabe & Idee:

Ein affiner Raum der Dimension

n

ist ein Tripel

(M, V, +)

bestehend aus einer Menge

M

von Punkten, einem reellen n-dimensionalen Vektorraum

V

und einer Addition

+ : M \times V \to M, (p, v) \mapsto p + v

mit den Eigenschaften

1.

p + (u + v) = (p + u) + v, \forall p \in M; u, v \in V

.

2. zu jedem Paar

(p, q) \in M \times M

existiert genau ein

v \in V

mit

p = q + v

Anschaulich bedeutet dies, dass in einem affinen Raum man ja zu zwei Elementen aus einer Menge einen Vektor eines Vektorraums finden kann, der diese beiden Elemente verbindet. Ein affiner Raum ist also die intuitivere Beschreibung des uns umgebenden (physikalischen) Raumes. Man beachte, dass es keinen Sinn macht zwei Punkte im Raum zu addieren.

a)

Finden Sie eine passende Addition

s . d

. die Menge von Punkten

A = {(x, y, z, w) \in ℝ^{4} : w = 1}

zusammen mit

ℝ^{3}

einen affinen Raum bildet. Beweisen Sie dies.

b)

Was ist der Unterschied zwischen einem Punkt und einem Vektor in diesem affinen Raum?

c)

Zeigen Sie, dass für jeden affinen raum gilt

p + 0 = 0,

benutzen Sie dabei nur die Axiome der Definition des affinen Raums.

d)

Zeigen Sie, dass

(ℝ^{3}, ℝ^{2}, +)

wobei die Addition definiert ist als

(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (p_{1}, p_{2}, p_{3}) := (x_{1} + p_{1}, x_{2} + p_{2}, p_{3})

kein affiner Raum ist.

e)

Betrachten Sie die Menge

H \subset ℝ^{3}

mit

H = {(x, y, z) \in ℝ^{3} : x + y + z - 1 = 0}

. Definieren Sie eine passende Addition

+

und zeigen Sie, dass

(H, ℝ^{2}, +)

affiner Raum ist. Zeichnen Sie H.

Was ist jetzt der Unterschied zwischen einem Punkt und einem Raum in diesem affinen Raum? Ein Punkt ist ein Punkt und ein Vektor eine Differenz zweier Punkte, oder nicht?

Bei

a)

muss ich ja eigentlich die zwei Eigenschaften zeigen:

1.

p + (u + v) = (p + u) + v, \forall p \in M; u, v \in V

.

2. zu jedem Paar

(p, q) \in M \times M

existiert genau ein

v \in V

mit

p = q + v

c)

macht mich fertig :-D) Wie soll unter der Verwendung der Axiome der Definiton des affinen Raums dies zeigen?

p + 0 = p = 0 + p = p

?

Bei

d)

und

e)

fehlt mir auch noch die springende Idee.

Vielen Dank schon mal.

Chica-rabiosa

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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09:52 Uhr, 11.04.2014

"c) macht mich fertig :-D)) Wie soll unter der Verwendung der Axiome der Definiton des affinen Raums dies zeigen?"

2. Acxiom: existiert ein Vektor

v

, so dass

p = p + v

.
1. Acxiom und

p = p + v

zusammen geben dann

p - v = (p + v) - v = p + (v - v) = p + 0 = (p + v) + 0 = p + (v + 0) = p + v = p

. Also,

p = p + v

und

p = p - v

. Wegen Eindeutigkeit aus dem 2. Acxiom muss

v = - v

gelten=>

v = 0

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09:57 Uhr, 11.04.2014

Herzlichen Dank.

Aber wieso ist am Anfang

p - v = (p + v) - v

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10:00 Uhr, 11.04.2014

Weil ich schon weiß, dass

p = p + v

, darf also überall

p

durch

p + v

ersetzen.

Im Punkt d) ist es kein affiner Raum, weil kein

v

existiert, so dass

(0, 0, 0) + v = (0, 0, 1)

(

v = (x_{1}, x_{2})

hat keinen Einfluss auf die dritte Koordinate der Punkte).

DrBoogie aktiv_icon

10:08 Uhr, 11.04.2014

Und im Punkt e) kann man die Addition aus dem Punkt d) übernehmen, in diesem Fall wird's passen, denn

H

besteht aus Punkten

(x, y, 1 - x - y)

, also wir hätten auch auf die dritte Koordinate Einfluss. (Aber natürlich muss man noch beide Acxiome prüfen).

Chica-Rabiosa aktiv_icon

10:10 Uhr, 11.04.2014

"Weil ich schon weiß, dass

p = p + v,

darf also überall

p

durch

p + v

ersetzen."

Ahja stimmt, dann kann man es ersetzen! Sorry und danke.

"Im Punkt

d)

ist es kein affiner Raum, weil kein

v

existiert, so dass

(0,0,0) + v = (0,0,1)

(v = (x 1, x 2)

hat keinen Einfluss auf die dritte Koordinate der Punkte)."

Ja das sehe ich mehr oder weniger jetzt auch, aber das reicht wohl nicht als Beweis?

e)

"also hätten wir auf die dritte Koordinate Einfluss"

(x, y,1 - x - y)

Wie kommst du darauf? Was meinst du damit?

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10:20 Uhr, 11.04.2014

"Ja das sehe ich mehr oder weniger jetzt auch, aber das reicht wohl nicht als Beweis?"

Reicht vollkommen. Ein Acxiom verletzt - kein Affiner Raum, Ende. :-)

"(x,y,1−x−y) Wie kommst du darauf? Was meinst du damit?"

Dass man

H

nicht nur in der Form

{(x, y, z) :

x + y + z - 1 = 0}

schreiben kann, sondern auch in der Form

{(x, y, 1 - x - y)}

. Dass dies die gleichen Mengen sind, ist einfach zu zeigen (und man sieht es sofort). Wenn Du es nicht sofort siehst:

x + y + z - 1 = 0 < = > z = 1 - x - y

Chica-Rabiosa aktiv_icon

10:48 Uhr, 11.04.2014

"Dass man

H

nicht nur in der Form

{(x, y, z) : x + y + z

−

1 = 0}

schreiben kann, sondern auch in der Form

{

(x,y,1−x−y)}. Dass dies die gleichen Mengen sind, ist einfach zu zeigen (und man sieht es sofort). Wenn Du es nicht sofort siehst:

x + y + z

−

1 = 0 \Leftrightarrow z = 1

−

x

−

y

."
Oh ja *peinlich*. Manchmal denke ich wirklich, dass ich eine Matheschwäche habe...

Okay ich versuch's mal die Axiome zu prüfen.

Also wir haben die Addition definiert als

(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (p_{1}, p_{2}, p_{3}) := (x_{1} + p_{1}, x_{2} + p_{2}, p_{3})

welche wir übernehmen.

Wir haben die Menge

H \subset ℝ^{3}

mit

H = {(x, y, z) \in ℝ^{3} : x + y + z - 1 = 0}

bzw.

H = {(x, y, z) \in ℝ^{3} : z = 1 - x - y}

1)

Wir haben

p + (u + v) = (p + u) + v

jetzt versuchen wir wie in

c)

von der linken Seite zur rechten zu kommen.

(\begin{matrix} x_{1} + p_{1} \\ x_{2} + p_{2} \\ p_{3} \end{matrix})

hm nun weiß ich nicht wie ich fortfahren soll. Ich könnte das ja auseinanderdröseln zu:

(\begin{matrix} x_{1} + p_{1} \\ x_{2} + p_{2} \\ p_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} p_{1} \\ p_{2} \\ p_{3} \end{matrix})

Aber dann fehlt mir irgendwie die "dritte Komponente". Und ich sehe nicht zwingend den Zusammenhang zu meiner Menge H.

Danke vielmals.

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10:51 Uhr, 11.04.2014

Du hast doch nicht die allgemeinen

p_{1}, p_{2}, p_{3}

, sie liegen bei Dir alle auf

H

, also gilt

p_{1} + p_{2} + p_{3} - 1 = 0

, nutze das.

Chica-Rabiosa aktiv_icon

11:04 Uhr, 11.04.2014

Hmmm.

"Du hast doch nicht die allgemeinen

p 1, p 2, p 3,

sie liegen bei Dir alle auf

H,

also gilt

p 1 + p 2 + p 3

−

1 = 0,

nutze das."

Ich weiß echt nicht was du meinst

: (

p 1 + p 2 + p 3

−

1 = 0

soll ich nutzen? Meinst du das jetzt notationsmäßig? Sprich:

H = {(p_{1}, p_{2}, p_{3}) \in ℝ^{3} : p_{1} + p_{2} + p_{3} - 1 = 0}

sprich so?

Ich verstehe einfach nicht wie ich die definierte Addition aus

d)

bezüglich der Menge anpassen soll? Bzw. du hast ja diese Umformung getätigt von

x + y + z - 1 = 0

z = 1 - x - y,

da sehe ich noch nicht den Sinn/Nutzen.

Wie ich jetzt die zu prüfende Gleichung aufstellen soll weiß ich nicht

: (

DrBoogie aktiv_icon

11:34 Uhr, 11.04.2014

Sorry, ich habe nicht ganz Recht gehabt, die Addition muss man doch anders definieren.
Also:

Behauptung:

(H, ℝ^{2}, +)

ist ein affiner Raum, wenn

+

so definiert wird:

(p_{1}, p_{2}, p_{3}) + (x_{1}, x_{2}) := (x_{1} + p_{1}, x_{2} + p_{2}, p_{3} - x_{1} - x_{2})

.

Beweis.
Prüfen wir, dass

p + v

H

liegt für alle

p

aus

H

und alle

v

aus

ℝ^{2}

- das ist auch ein Teil der Definition, der geprüft werden muss!
Also,

p = (p_{1}, p_{2}, p_{3})

H

p_{1} + p_{2} + p_{3} - 1 = 0

.
Mit

v = (x_{1}, x_{2})

haben dann

p + v = (x_{1} + p_{1}, x_{2} + p_{2}, p_{3} - x_{1} - x_{2})

und dieser Punkt liegt in

H

, weil

x_{1} + p_{1} + x_{2} + p_{2} + p_{3} - x_{1} - x_{2} - 1 = p_{1} + p_{2} + p_{3} - 1 = 0

Prüfen wir das 1. Axiom:

(p + u) + v = ((p_{1}, p_{2}, p_{3}) + (x_{1}, x_{2})) + (y_{1}, y_{2}) = (x_{1} + p_{1}, x_{2} + p_{2}, p_{3} - x_{1} - x_{2}) + (y_{1}, y_{2})

= (x_{1} + y_{1} + p_{1}, x_{2} + x_{2} + p_{2}, p_{3} - x_{1} - x_{2} - y_{1} - y_{2}) = (p_{1}, p_{2}, p_{3}) + (x_{1} + y_{1}, x_{2} + y_{2}) =

= (p_{1}, p_{2}, p_{3}) + ((x_{1}, x_{2}) + (y_{1}, y_{2})) = p + (u + v)

.
Hier sehen wir, dass das 1. Axiom die Gestalt von

H

gar nicht nutzt.
Prüfen wir das 2. Axiom:
sei jetzt

p = (p_{1}, p_{2}, p_{3})

und

q = (q_{1}, q_{2}, q_{3})

, beide aus

H

.
Wir nehmen

x = q_{1} - p_{1}

und

y = q_{2} - p_{2}

und

v = (x, y)

.
Jetzt gilt

p + v = (p_{1}, p_{2}, p_{3}) + (x, y) = (p_{1} + x, p_{2} + y, p_{3} - x - y) = (q_{1}, q_{2}, q_{3})

,
denn

q_{3} = 1 - q_{1} - q_{2}

(

q

ist aus

H

) =>

q_{3} = 1 - (p_{1} + x) - (p_{2} + y) = (1 - p_{1} - p_{2}) - x - y

p_{3} - x - y

(da

p

auch aus

H

ist, gilt

p_{3} = 1 - p_{1} - p_{2}

).

Update. Korrigiert im ersten Teil des Beweises (

v = (x_{1}, x_{2})

Chica-Rabiosa aktiv_icon

12:01 Uhr, 11.04.2014

Naja so einige Dinge sind mir noch unklar.

Zuerst "p

= (p 1, p 2, p 3) \in H \Rightarrow p 1 + p 2 + p 3

−

1 = 0

. " Wieso ist das so? Woher kommt die

- 1

?

Beim ersten Axiom woher kommt

(\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \end{matrix})

? Und wie tauchen dann in der dritten Komponente (bei

p_{3})

auf einmal

x_{1}

und

x_{2}

auf? Hast du da wieder was ersetzt?

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12:11 Uhr, 11.04.2014

"Zuerst

p = (p 1, p 2, p 3) \in H \Rightarrow p 1 + p 2 + p 3 - 1 = 0 .

Wieso ist das so? Woher kommt die −1?"

H

ist doch als

{(x, y, z) : x + y + z - 1 = 0}

definiert. Das ist dasselbe

- 1

.

"Beim ersten Axiom woher kommt

(y_{1}, y_{2})

?"

Da ist bei mir

u = (x_{1}, x_{2})

und

v = (y_{1}, y_{2})

. Etwas blöd, weil ich oben

v = (x_{1}, x_{2})

benutzt habe, aber tut nichts zur Sache. Kannst ja umbenennen, wie Du willst.

"Und wie tauchen dann in der dritten Komponente (bei p3) auf einmal x1 und x2 auf?"

So wird doch Addition definiert. Lese einfach alles noch Mal. :-)

Chica-Rabiosa aktiv_icon

12:19 Uhr, 11.04.2014

Aber wieso liegt jetzt der Punkt darin?

""Und wie tauchen dann in der dritten Komponente (bei

p 3)

auf einmal

x 1

und

x 2

auf?"

So wird doch Addition definiert. Lese einfach alles noch Mal. :-)"

Ja stimmt ich meinte wie kommt das

y_{1}

und

y_{2}

p_{3}

zur Summe?

DrBoogie aktiv_icon

12:26 Uhr, 11.04.2014

"Aber wieso liegt jetzt der Punkt darin?"

Wir müssen Axiome doch nur für Punkte aus

H

prüfen, nicht für welche x-beliebige.

Sonst kann ich nur empfehlen, ein bisschen Zeit zu nehmen und den Beweis nicht nur oberflächlich zu überfliegen, dann würden schon die Fragen von selbst entfallen.
Der Beweis prüft nur strikt die Definition, mehr nicht.

Chica-Rabiosa aktiv_icon

12:36 Uhr, 11.04.2014

Bei meiner geringen Verständnisentwicklung reichen Wochen nicht aus. Im ersten Axiom ist auch ein Fehler, es müsste doch

x_{2} + y_{2} + p_{2}

sein in der zweiten Komponente, zweiter Absatz...

DrBoogie aktiv_icon

12:41 Uhr, 11.04.2014

Ja, richtig, ein Fehler.

Versuche am besten selber diesen Beweis aufzuschreiben, Du kannst andere Bezeichungen verwenden und natürlich meine Fehler korrigieren. Vielleicht wird's dann verständlicher. Aber natürlich ist es kein sehr einfacher Beweis, und Mathe-Defizite kann man nicht in 5 Minuten "weglernen". Nur kann ich auch nicht viel helfen in so einem Fall, ich kann für Dich nicht denken. :-)

Chica-Rabiosa aktiv_icon

12:48 Uhr, 11.04.2014

Ich versuche es wirklich, aber ich bekomme von

100

Aufgaben vielleicht eine hin. Was ist denn bei der

b)

die Antwort, das macht mich verrückt. :-D)

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13:08 Uhr, 11.04.2014

Bei b) weiß ich nicht wirklich, was für Antwort erwartet wird.
Was offensichtlich ist - die Punkte haben 4 Koordinaten in diesem Fall und Vektoren nur 3. Außerdem kann man Vektoren addieren und mit Zahlen multiplizieren, die Punkte aber nicht - das ist auch allgemein so.

DrBoogie aktiv_icon

13:41 Uhr, 11.04.2014

Ich mache den Beweis noch ausführlicher. :-)

Behauptung:

(H, ℝ^{2}, +)

ist ein affiner Raum, wenn

+

so definiert wird:

(p_{1}, p_{2}, p_{3}) + (x_{1}, x_{2}) := (x_{1} + p_{1}, x_{2} + p_{2}, p_{3} - x_{1} - x_{2})

.
Dabei ist

H

definiert als Menge von allen Tripeln

(p_{1}, p_{2}, p_{3})

, welche die Bedingung

p_{1} + p_{2} + p_{3} - 1 = 0

erfüllen oder gleichbedeutend damit die Bedingung

p_{3} = 1 - p_{1} - p_{2}

.

Beweis.
Prüfen wir, dass

p + v

H

liegt für alle

p

aus

H

und alle

v

aus

ℝ^{2}

- das ist auch ein Teil der Definition, der geprüft werden muss!
Also,

p = (p_{1}, p_{2}, p_{3})

H

, woraus folgt

p_{1} + p_{2} + p_{3} - 1 = 0

(das folgt direkt aus der Definition von

H

).
Sei jetzt

v = (x, y)

beliebig aus

ℝ^{2}

. Dann haben wir nach der Definition

p + v = (x + p_{1}, y + p_{2}, p_{3} - x - y)

und dieser Punkt liegt in

H

, weil

(x + p_{1}) + (y + p_{2}) + (p_{3} - x - y) - 1 = p_{1} + p_{2} + p_{3} - 1 = 0

.

Prüfen wir das 1. Axiom.
Zu prüfen ist

(p + u) + v = p + (u + v)

für alle

p

aus

H

u, v

aus

ℝ^{2}

Sei jetzt

p = (p_{1}, p_{2}, p_{3})

beliebig aus

H

u = (x_{1}, x_{2})

v = (y_{1}, y_{2})

beliebig aus

ℝ^{2}

.
Dann gilt nach der Definition der Addition

(p + u) = (p_{1}, p_{2}, p_{3}) + (x_{1}, x_{2})) = (x_{1} + p_{1}, x_{2} + p_{2}, p_{3} - x_{1} - x_{2})

.
Wieder nach der Definition der Addition gilt dann

(p + u) + v = (x_{1} + p_{1}, x_{2} + p_{2}, p_{3} - x_{1} - x_{2}) + (y_{1}, y_{2})

= ((x_{1} + p_{1}) + y_{1}, (x_{2} + p_{2}) + y_{2}, (p_{3} - x_{1} - x_{2}) - y_{1} - y_{2}))

(*).
Andererseits, gilt

p + (u + v) = (p_{1}, p_{2}, p_{3}) + ((x_{1}, x_{2}) + (y_{1}, y_{2})) = (p_{1}, p_{2}, p_{3}) + (x_{1} + y_{1}, x_{2} + y_{2})

und wieder nach der Definition der Addition

p + (u + v) = (p_{1}, p_{2}, p_{3}) + (x_{1} + y_{1}, x_{2} + y_{2}) =

= (p_{1} + (x_{1} + y_{1}), p_{2} + (x_{2} + y_{2}), p_{3} - (x_{1} + y_{1}) - (x_{2} + y_{2})) =

= ((x_{1} + p_{1}) + y_{1}, (x_{2} + p_{2}) + y_{2}, (p_{3} - x_{1} - x_{2}) - y_{1} - y_{2}))

.
Das ist derselbe Ausdruck, der oben mit (*) bezeichnet wurde. Daraus folgt, dass

(p + u) + v = p + (u + v)

, was auch zu beweisen war.

Hier sehen wir, dass das 1. Axiom die Gestalt von

H

gar nicht nutzt.

Prüfen wir das 2. Axiom.
Sie besagt, dass für zwei Punkte

p, q

aus

H

ein Vektor

v

aus

ℝ^{2}

zu finden ist, so dass

p + v = q

gilt, und dieser Vektor ist eindeutig.
Sei jetzt

p = (p_{1}, p_{2}, p_{3})

und

q = (q_{1}, q_{2}, q_{3})

, beide aus

H

.
Das heißt, dass

p_{1} + p_{2} + p_{3} - 1 = 0

und

q_{1} + q_{2} + q_{3} - 1 = 0

gilt.
Wir nehmen

x = q_{1} - p_{1}

und

y = q_{2} - p_{2}

und bilden den Vektor

v = (x, y)

.
Jetzt gilt nach der Definition der Addition

p + v = (p_{1}, p_{2}, p_{3}) + (x, y) = (p_{1} + x, p_{2} + y, p_{3} - x - y) = (q_{1}, q_{2}, p_{3} - x - y)

.
Um

p_{3} - x - y

zu berechnen, benutzen wir, dass

q_{1} + q_{2} + q_{3} - 1 = 0

, woraus

q_{3} = 1 - q_{1} - q_{2}

folgt.
Also,

q_{3} = 1 - q_{1} - q_{2} = 1 - (p_{1} + x) - (p_{2} + y) = (1 - p_{1} - p_{2}) - x - y

.
Da

p

aus

H

ist, gilt wie gesagt

p_{3} = 1 - p_{1} - p_{2}

, also können statt

(1 - p_{1} - p_{2})

einfach

p_{3}

schreiben. Damit gilt

q_{3} = (1 - p_{1} - p_{2}) - x - y = p_{3} - x - y

.
Also,

p + v = (q_{1}, q_{2}, p_{3} - x - y) = (q_{1}, q_{2}, q_{3})

.

Es bleibt nur die Eindeutigkeit zu zeigen, also dass aus

p + u = p + v = q

dann

u = v

folgt. Das ist dann ziemlich trivial, denn wenn

p = (p_{1}, p_{2}, p_{3})

u = (x_{1}, x_{2})

und

v = (y_{1}, y_{2})

, dann ist

p + u = (p_{1} + x_{1}, p_{2} + x_{2}, p_{3} - x_{1} - x_{2})

und

p + v = (p_{1} + y_{1}, p_{2} + y_{2}, p_{3} - y_{1} - y_{2})

und dann folgt aus

p + u = p + v

sofort durch komponenterweise Vergleich, dass

x_{1} = y_{1}

und

x_{2} = y_{2}

Chica-Rabiosa aktiv_icon

16:45 Uhr, 11.04.2014

Okay vielen lieben Dank. Fehlt also noch die

a)

.

Dort muss ich eine passende Addition

s . d

. die Menge von Punkten

A = {(x, y, z, w) \in ℝ^{4} : w = 1}

zusammen mit

ℝ^{3}

einen affinen Raum bildet.

Jetzt soll die Menge mit dem

ℝ^{3}

zusammen einen affinen Raum bilden. - Schwer.

w = 1

was sagt mir das?

x, y, z

beliebig sind und

w = 1

fest ist. Nun?

DrBoogie aktiv_icon

16:57 Uhr, 11.04.2014

Bei a) wird Addition so definiert:

(p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}) + (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (p_{1} + x_{1}, p_{2} + x_{2}, p_{3} + x_{3}, p_{4})

Wenn

p = (p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4})

A

liegt, dann ist

p_{4} = 1

, das ändert sich auch nach der Addition des Vektors

(x_{1}, x_{2}, x_{3})

nicht, denn die Addition hat keinen Einfluss auf die 4. Komponente der Punkte. Also wenn wir zu einem Punkt aus

A

einen beliebigen Vektor addieren, bleiben wir auf

A

- damit wäre schon gezeigt, dass die Definition korrekt ist.
Bleiben die Axiome, aber das geht analog zu e), sogar einfacher in diesem Fall. Versuch Dein Glück. :-)

Chica-Rabiosa aktiv_icon

18:02 Uhr, 14.04.2014

Einfacher, irgendwie naja genauso schwer wenn man

e)

nicht auf die Reihe bekommen hat.

1. Axiom

(p + u) + v = p + (u + v)

mit

(p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}) + (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (p_{1} + x_{1}, p_{2} + x_{2}, p_{3} + x_{3}, p_{4})

Ich weiß nicht für mich ergibt das von vorne bis hinten keinen Sinn

: (

Vor allem, weil man doch die Klammern aus dem Axiom nicht explizit anwendet in

e) : (

DrBoogie aktiv_icon

18:07 Uhr, 14.04.2014

Was für Klammern? :-O

Und Sinn muss es keinen ergeben, es ist doch Mathe. :-) Es muss nur stimmen. :-)

Chica-Rabiosa aktiv_icon

18:09 Uhr, 14.04.2014

Ja, daher bekomme ich es ja nicht hin

: (

DrBoogie aktiv_icon

18:12 Uhr, 14.04.2014

Es ist nur die Frage der Zeit. Ein großer Mathematiker hat mal gesagt: "Mathematik kann man nicht verstehen, an Mathematik kann man sich nur gewöhnen". Ich hatte übrigens gerade mit affinen Räumen vor ca. 20 Jahren große Probleme. Jetzt ist es für mich einfach. :-)

Chica-Rabiosa aktiv_icon

20:16 Uhr, 14.04.2014

Naja nur stundenlang Löcher in die Blätter starren bringt auch nicht viel. Und mehr verständlich bringt es ab einem gewissen Zeitpunkt meistens echt nicht mehr. Jedenfalls nicht bei so Normalos wie mir.

DrBoogie aktiv_icon

21:07 Uhr, 14.04.2014

Doch, ich glaube schon, dass es auf die Erklärung ankommt. Nur ist es verdammt schwer, etwas per Einträge in einem Forum zu erklären, besonders wie in diesem Fall, wo Zeichnungen sehr helfen würden, schließlich geht es um Geometrie.

Aber grundsätzlich glaube ich persönlich, dass man auch komplexe Sachverhalte an einfachen Beispielen lernen sollte. Im Fall von affinen Räumen sind es Geraden auf einer Ebene. Geraden, die durch den Nullpunkt gehen, sind Vektorräume, aber Geraden, die nicht durch den Nullpunkt gehen, sind affine Räume - das ist schon mal der Unterschied (natürlich sind Vektorräume auch affine Räume, aber dies ist ein besonderer und wenig interessanter Fall).
So, und jetzt nimm einfach eine Gerade, z.B. die durch

y = 2 x + 3

beschrieben wird, und versuche sie formal als einen affinen Raum zu beschreiben (die Punktmenge ist also durch diese Gerade beschrieben, der zugehörige Raum muss eindimensional sein).

Gisy123 aktiv_icon

21:10 Uhr, 14.04.2014

Hallo,

ich bin ja spät dran bei so vielen Antworten.

Aber gleich zu Beginn mit der gesuchten Definition der Addition:

Um zu einer sinnvollen Addition zu gelangen, "homogenisiert" man die drei Komponenten des Vektors

v = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) \in ℝ^{3}

um eine 4.Komponente "0", addiert dann wie üblich komponentenweise und bekommt als Definition

p + v = (p_{1}, p_{2}, p_{3}, 1) + (v_{1}, v_{2}, v_{3}) := (p_{1}, p_{2}, p_{3}, 1) + (v_{1}, v_{2}, v_{3}, 0) = (p_{1} + v_{1}, p_{2} + v_{2}, p_{3} + v_{3}, 1)

.
Man erhält also -wie es verlangt wird - als Ergebnis einen Punkt.

Die Additionseigenschaften ergeben sich dann von selbst aus denen von

ℝ

.

Aber vielleicht ist das ja schon so oder so ähnlich beantwortet worden; dann vergiss es.

Gisy

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