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Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Wahrscheinlichkeitsmaß

 
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Looris96

Looris96 aktiv_icon

14:54 Uhr, 20.10.2019

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Heyho

folgende Aufgabe:

Finden Sie jeweils die kleinste Algebra auf Ω, welche M enthält und beweisen Sie, dass diese wirklich minimal ist mit dieser Eigenschaft.

Ω={1,2,3,4},M={{1,2,3},{3,4}}

Ich hätte es jetzt erstmal so verstanden, dass M eine Menge von Teilmengen von Ω ist.

Eine Mengenalgebra nennen wir so, falls gilt:

(i) M
(ii) Für alle A,BM gilt ABM
(iii) Für alle AF gilt AcF


Wie finde ich nun die kleinste Algebra? Was genau versteht man darunter? Und wie beweise ich, dass diese Minimal ist?

als Beispiel hatten wir

Ω={0,1}

M= Potenzmenge {0,1}={{0},{1},{0,1},{}}

(i) leere Menge liegt in M
(ii) {0}{1}={0,1} (liegt in M)
usw

Wäre um Hilfe sehr erfreut.

LG :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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Looris96

Looris96 aktiv_icon

19:37 Uhr, 21.10.2019

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Suche immer noch Hilfe.. <3
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HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

19:53 Uhr, 21.10.2019

Antworten
Offenbar müssen die Mengen

{1,2,3}\{3,4}={1,2}

{1,2,3}{3,4}={3}

{3,4}\{1,2,3}={4}

in dieser kleinsten Sigma-Algebra liegen. Die eigentliche Sigma-Algebra wird dann gebildet aus allen 23=8 möglichen Vereinigungen von 0 bis 3 dieser 3 Mengen. Warum?

1) Alle diese genannten Mengen MÜSSEN in diesem Mengensystem liegen, damit es eine Sigma-Algebra ist.

2) Dieses Mengensystem IST auch eine Sigma-Algebra.


P.S.: Die Einzelmengen {1} und {2} müssen NICHT zur Sigma-Algebra gehören!!! Würde man die (sowie weitere Vereinigungen) hinzunehmen, dann hätte man nicht mehr die KLEINSTE Sigma-Algebra.
Looris96

Looris96 aktiv_icon

21:09 Uhr, 21.10.2019

Antworten
Hallo,

vielen Dank für deine Antwort

wie kommst du auf die ersten 3 Mengen?

also 1,2,3 ohne 3,4
1,2,3 geschnitten 3,4
3,4 ohne 1,2,3?

"Die eigentliche Sigma-Algebra wird dann gebildet aus allen 8 möglichen Vereinigungen von 0-3 dieser 3 Mengen"

wie sähen die dann aus? Weiß nicht, wo genau ich die jetzt herholen soll..

1) und 2) habe ich soweit verstanden..

Aber was ist dann die genaue Antwort und wie finde ich die kleinste Algebra?

LG
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

21:35 Uhr, 21.10.2019

Antworten
> wie kommst du auf die ersten 3 Mengen?

Man betrachtet ALLE Durchschnitte von Mengen bzw. Komplementen von Mengen aus dem Erzeugendensystem, welche nichtleer sind. Das sind dann die "atomaren" Mengen der gesuchten kleinsten Sigmaalgebra, und weiter geht es wie oben beschrieben.


> Die eigentliche Sigma-Algebra wird dann gebildet aus allen 8 möglichen Vereinigungen von 0-3 dieser 3 Mengen.

Da ist doch deutlich genug.