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Algebraische Regeln unendliche Summen (kurz)

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen, Reihen

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08:35 Uhr, 10.11.2012

Hallo

Bei endlichen Summen:

\sum_{i = 1}^{n} k \cdot a_{i}

kann man ja den Faktor "k" rausnehmen:

\sum_{i = 1}^{n} k \cdot a_{i} = k \cdot \sum_{i = 1}^{n} a_{i}

Wie sieht das nun bei unendlichen Summen aus?

Unser Hilfsassistent hat folgendes notiert:

\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{\sqrt{2}}{n^{\frac{7}{6}}} = \sqrt{2} \cdot \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{\frac{7}{6}}}

Darf man diese Ausklammern hier allgemein auch bei unendlichen Summen, oder nur, weil
man weiss, dass

\frac{1}{n^{\frac{7}{6}}}

konvergiert? Ausgehend von den Rechenregeln für Grenzwerte tippe ich auf Letzteres, bin mir aber nicht sicher...

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08:43 Uhr, 10.11.2012

Darf man machen. Ist die rechte Reihe konvergent, dann ist auch die linke Reihe konvergent, ist die rechte divergent, dann auch die linke. Oder anders formuliert:

k \cdot \infty = \infty

und für

C < \infty

ist auch

k C < \infty

, falls

k

nur ein endlicher konstanter Vorfaktor ist.

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08:47 Uhr, 10.11.2012

Darf man also IMMER machen UND der Grenzwert ändert sich bei einer konvergenten Reihe nicht?

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08:53 Uhr, 10.11.2012

Genau. Auch bei einer divergenten nicht (in diesem Fall kommt rechts wie links unendlich raus). Bei Integralen ist das ja auch nicht anders: Ein Integral ist eine unendliche Summe und es ist linear (d.h.

\int (a f (x) + g (x)) d x = a \int f (x) d x + \int g (x) d x

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08:58 Uhr, 10.11.2012

Muss da rechts nicht ne Klammer stehen?
Sonst alles klar, vielen Dank!

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09:26 Uhr, 10.11.2012

Also die letzte schließende Klammer gehört zur "Text-Klammer" vor "d.h.". :-)

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