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Algebraische Zahlen - Menge abzählbar?
Universität / Fachhochschule
Tags: Analysis
 
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anonymous 15:57 Uhr, 04.12.2005  |
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Hallo Leute! Ich soll in einem Beweis vorerst zeigen das die Menge der algebraischen Zahlen abzählbar ist. Habe im Internet gesucht und einige Sätze gefunden, wie z.b.: Die Menge der algebraischen Zahlen ist abzählbar, da sowohl der Grad der Polynome als auch die Koeffizienten abzählbar sind. Wie habe ich das zu verstehen? Kann es vielleicht nochmal jemand erklären? (Die eigentlich Aufgabe ist: Zeigen Sie, dass nicht jede reelle Zahl algebraisch ist (vllt hat ja jemand dazu noch einen Tip)) Danke erstmal! mfg sCaLLe |
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anonymous 16:53 Uhr, 04.12.2005 |
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Hallo, eine Zahl ist ja genau dann algebraisch, wenn sie Nullstelle eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten ist. Jetzt wissen wir, dass jedes Polynom endlich viele Nullstellen hat. Bei festem Grad n gibt es dann auch abzählbar viele Polynome vom Gerade n, weil die Koeffizienten ganzzahlig sind und Z abzählbar ist. Die Menge der Polynome vom Grad höchstens n hat die selbe Kardinalität wie die Menge ZxZ...xZ (n-mal), weil ein Polynom durch seine Koeffizienten eindeutig bestimmt ist. Und damit haben wir auch schon alle Polynome, weil wir Polynome niedrigeren Gerades erhalten, wenn gewisse Koeffizienten null sind und 0 ist auch aus Z. Fazit: die Menge der algebraischen Polynome ist eine abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen und verhält sich genauso wie ZxZx...xZ. (Der algebr. Polynomring ist dann mit der Addition übrigens isomorph zu Zx...xZ). Damit sind die algebraischen Polynome auch abzählbar. Es gibt also höchstens "n * |Zx...xZ|" algebraische Zahlen, als n mal abzählbar viele also auch abzählbar viele. Um zu der eigentlichen Aufgabe zurückzukehren. IR ist überabzahlbar, IQ ist abzählbar, die algebraischen (irrationalen) Zahlen A sind abzählbar. Also sind die transzendeten Zahlen = IR\IQ\A überabzählbar. Und damit sind natürlich nicht alle reellen Zahlen algebraisch und es gibt sogar überabzählbar viele irrationale Zahlen, die nicht algebraisch sind. Hoffe, geholfen zu haben |
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