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Algorithmus zur Bestimmung von Minimalpolynom

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Algebra, Körper, MATH, Mathematik, Minimalpolynom

anonymous

23:55 Uhr, 09.12.2021

Hallo!

Der exakte Wortlaut der Aufgabe ist folgender:

Ein Kommilitone sagt Ihnen:
”Um das Minimalpolynom von a zu bestimmen, schaue ich, ab
wann die

a^{k}

linear abhängig werden.“ Machen Sie daraus einen Algorithmus, und beweisen
Sie, dass er funktioniert.

Okay also mein "Algorithmus" sieht folgendermaßen aus:

Sei

L / K

eine Körpererweiterung und

a \in L

algebraisch.

1.

w h i l e : {1, a, a^{2}, ..., a^{n}}

linear unabhängig

d o : n = n + 1

.

2. Finde

b_{0}, ..., b_{n - 1} \in K

mit

\sum_{i = 0}^{n} b_{i} a^{i} = 0

wobei

b_{n} = 1

.

3.

r e t u r n : m_{a} (X) = \sum_{i = 0}^{n} b_{i} X^{i} \in K [X]

.

Ich weiß nicht genau wie ich nun beweisen soll, dass dies auch wirklich funktioniert. Ich dachte mir einfach ich zeige erst, dass diese

b_{i}

überhaupt existieren. Die sollte es geben, da

{1, a, a^{2}, ..., a^{n}}

linear abhängig aber

{1, a, a^{2}, ..., a^{n - 1}}

linear unabhängig. Also lässt sich

- a^{n}

als Linearkombination von

{1, a, a^{2}, ..., a^{n - 1}}

schreiben

\sum_{i = 0}^{n - 1} λ_{i} a^{i} = - a^{n} \Leftrightarrow a^{n} + \sum_{i = 0}^{n - 1} λ_{i} a^{i} = 0 \Leftrightarrow \sum_{i = 0}^{n} λ_{i} a^{i} = 0,

mit

λ_{n} := 1

.

Dann nehme

b_{i} := λ_{i}

für

i = 1, ..., n

.

Was ist noch zu zeigen? Ich dachte vielleicht man sollte zeigen, dass das zurückgegebene Polynom alle nötigen Eigenschaften hat, die da wären: Minimaler Grad, a als Nullstelle und normiert.

Naja aber a als Nullstelle ist klar. Wir haben es ja gerade so konstruiert in Zeile 2. Normiert ist es auch per Konstruktion. Das mit dem minimalen Grad ist auch logisch, denn wir potenzieren a eben gerade so lange bis wir nicht mehr linear unabhängig sind und nehmen dann noch die nächste Potenz dazu. Wir brauchen hier lineare Abhängigkeit, damit wir in Zeile zwei

= 0

sagen können ohne, dass sofort folgt, dass alle

b_{i} = 0

sind und für jedes Element, was wir hier aus der Menge entfernen ist die Menge linear unabhängig.

Was gibt es noch zu zeigen? Reichen die Dinge die ich angesprochen habe, sofern ich sie noch korrekt ausformuliere?

Danke und LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

Hannes29912012 aktiv_icon

15:04 Uhr, 11.12.2021

Ich arbeite an derselben Aufgabe und habe bis dahin denselben Algorithmus :-)
Es muss noch gezeigt werden, dass das so ermittelte Polynom unzerlegbar über K ist. Hierfür habe ich mir gedacht: ist

a \in K \subset L

, so ist bereits

X - a

das gesuchte Minimalpolynom, dass alle Eigenschaften erfüllt. Sei also

a \in L \ K

. Dann reicht

X - a

nicht, weil sonst

a \in K

. Also brauchen wir ein Polynom höheren Grades. Dieses darf neben

a \in L \ K

aber keine Nullstellen in

K

haben, da sonst die Unzerlegbarkeit futsch wäre. Ich bin sicher, dass es keine NST in

K

geben kann, bekomme das aber noch nicht begründet. Zudem gibt es ja noch weitere Kriterien der Unzerlegbarkeit, wenn der Grad der Polynome

\geq 4

ist.
Ein Ansatz wäre: Da

a \in L \ K

eine NST von

f

ist, muss

f \in (m_{a, K})

(also dem vom Minimalpolynom von

a

erzeugten Ideal) sein. Da

f

aber normiert und minimal ist per Konstruktion und die Normiertheit von

m_{a, K}

Eindeutigkeit erzwingt, müsste

f = m_{a, K}

.

Ich bin aber unsicher, ob die Argumentation ganz korrekt ist.

anonymous

15:10 Uhr, 13.12.2021

Danke für die Antwort, sehr Hilfreich! Auch Uni Hamburg? hehe

anonymous

16:37 Uhr, 13.12.2021

Oh jetzt verstehe ich was du meinst... Das Polynom darf keine Nullstelle

b

haben in

K . .

. Weil sonst kann ich

(X - b)

abspalten und das ganze wäre immer noch in

K [X]

also zerlegbar. Warum darf es aber nicht zerlegbar sein, das wusste ich garnicht...

anonymous

16:48 Uhr, 13.12.2021

Naja wäre das Minimalpolynom

m \in K [X]

zerlegbar, so gibt es

f, g \in K [X]

mit

m = f g,

wobei

f, g \notin K {[X]}^{\times}

(keine Einheiten) und

f

und

g

hätten beide einen Grad, der echt kleiner als der Grad von

m

ist. Aber wegen

0 = m (a) = f (a) g (a)

müsste a auch Nullstelle von

f

und von

g

sein. Das wäre ein Wiederspruch zur Minimalität des Minimalpolynoms

m

. Das beweist aber nicht, dass der Algorithmus das garantiert... Aber irgendwie schon..., weil wir ja "beweisen" konnten, dass der Algorithmus das mit dem minimalen Grad richtig macht... Oder?

Hannes29912012 aktiv_icon

18:29 Uhr, 13.12.2021

Genau den Ansatz habe ich jetzt auch :-)
Da Algorithmus sagt ja praktisch: "erhöhe den Grad um 1, wenn du kein Polynom

m

mit Koeffizienten aus

K

findest, sodass

m (a) = 0

." Daher kann mit deinem Widerspruchsbeweis das konstruierte Polynom nicht über

K

zerlegbar sein, da es ja andernfalls Polynome mit kleinerem Grad in

K [X]

gäbe (in deinem Beweis wären das

f

oder

g

aus

K [X]

, die hätte der Algorithmus ja dann schon finden müssen, bevor der Grad erhöht wurde).

Hannes29912012 aktiv_icon

18:29 Uhr, 13.12.2021

Wäre es zerlegbar, wäre das Minimalpolynom ja nicht mehr minimal :-P)

anonymous

04:03 Uhr, 14.12.2021

Super dann sollte das ja so funktionieren! :-D)

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