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Alle Lösung von z^3 = 1

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen, Lösung

Lauri89

23:34 Uhr, 12.05.2009

Wir sollen alle Lösungen zu

z^{3} = 1

finden und zeichnen.
ich würde ja

z =

(a+bi)(a+bi)(a+bi) schreiben aber das Polynom das ich dann bekomme bringt mich der Lösungen nicht wirklich näher...ist die Herangehensweise überhaupt korrekt?

mschaetzer aktiv_icon

00:31 Uhr, 13.05.2009

Hallo erstmal.
Deinen Ansatz verstehe ich nicht wirklich, aber das liegt wohl daran das ich kein Mathematiker bin;-)
Aber vlt kann ich dir bei diesem Problem doch helfen.

Also als erstes löst du eig nur die Gleichung z³-1=0, daraus bekommst du ja die erste Nullstelle: z=1

Wenn du jetzt eine Nustlee hast kannst du dir die restlichen mit einer Polynomdivision errechnen:

(z³-1)/(z-1)=z²+z+1

diese gleichung gibt dir jetzt die letzten zwei Nullstellen:

$z 2 = - (1 / 2) + - (\sqrt{3} / 2) i$

hoffe es hilft dir was.

BjBot aktiv_icon

02:24 Uhr, 13.05.2009

@ Lauri89

Du kannst auf jeden Fall so ansetzen, du musst dieses Produkt jetzt eben ausmultiplizieren und dann so zusammenfassen, dass wieder etwas in der Form x+y*i da steht und dann kannst du einen Koeffizientenvergleich machen mit der 1 auf der rechten Seite, sprich der Realanteil der komplexen Zahl auf der linken Seite muss 1 ergeben und der imaginäre Anteil null. Damit hast du ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Variablen.

Je höher der Grad wird umso mehr bietet es sich ferner auch an die Polarform zu benutzen, falls ihr die schon hattet.

Gruß Björn

Lauri89

07:40 Uhr, 13.05.2009

vielen dank!aber bei meiner p-q-Formel kommt

- 0,5 \frac{+}{-}

Wurzel

\frac{3}{4}

mal

i

raus...p

= 1 q = 1

also steht unter der Wurzel doch

0,25 - 1 =

-0,75...hab ich dadrin jetzt irgendnen Fehler??

pepe1 aktiv_icon

08:29 Uhr, 13.05.2009

Zu:...bei meiner p-q-Formel kommt

- 0,5 \pm

Wurzel

34

mal

i

raus...p

= 1 q = 1

also steht unter der Wurzel doch

0,25 - 1 =

-0,75...hab ich dadrin jetzt irgendnen Fehler?...

x^{2} + x + 1 = 0

x_{1}; 2 = - \frac{1}{2} + (-) \sqrt{\frac{1}{4} - 1} = - \frac{1}{2} + (-) i \cdot \sqrt{\frac{3}{4}} = - \frac{1}{2} + (-) i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}

Beachte:

i^{2} = - 1;

also "i=

\sqrt{- 1}

" und damit

\sqrt{- \frac{3}{4}} = i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}

MfG

Lauri89

18:12 Uhr, 13.05.2009

Also es macht die Sache relativ schwierig, dass trotz Formeleditor die Wurzeln nicht angezeigt werden...was ich meine: wenn ich Wurzel(-3/4) umschreibe in Wurzel(-1x3/4) kann ich

- 1 = i^{2}

setzen: Wurzel(i^2

x \frac{3}{4})

nach dem Wurzelziehen bleibt

i x

Wurzel (3/4)......also

x 1 = - 0,5 + i x

Wurzel

(\frac{3}{4})

und

x 2 = - 0,5 - i x

Wurzel(3/4).
Wo kommt jetzt eure

\frac{3}{2}

her????

ICEMAN-SF aktiv_icon

19:24 Uhr, 13.05.2009

Hänge auch iwie an den $3 / 2$ ... komme wie Lauri89 auf $- 1 / 2 + i \sqrt{3 / 4}$ und $- 1 / 2 - i \sqrt{3 / 4}$ verstehe auch nicht wieso wenn $i^{2} = - 1$ (was ja klar ist...) folgen soll, dass $- 3 / 4 = i 3 / 2$ sein soll o.O sehe da keinen wirklichen Zusammenhang"?"

MBler07 aktiv_icon

19:35 Uhr, 13.05.2009

Hallo

wo ist das Problem? hier steht jetzt dreimal dasselbe Ergebnis. Ihr müsst darauf achten, ob die Wurzel nur im Zähler steht oder über den ganzen Bruch geht. Die Darstellung ist etwas schlecht. Zur Unterscheidung:
komplett: