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Alle Lösungen der Gleichung

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

tegharin34 aktiv_icon

00:01 Uhr, 30.11.2021

wie schon im titel erwähnt soll man alle lösungen der Gleichung ermitteln. Jedoch bin ich bei dieser Gleichung ziemlich ratlos. Benötige hilfe

{(z + 1 + i)}^{4} + 16 = 0

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Respon

00:23 Uhr, 30.11.2021

Setze vorerst

u = z + 1 + i

und berechne die 4 Lösungen von

u^{4} = - 16

- 16 = 16 \cdot cos (π + 2 \cdot k \cdot π) + i \cdot sin (π + 2 \cdot k \cdot π))

k \in ℤ

u^{4} = 16 \cdot cos (π + 2 \cdot k \cdot π) + i \cdot sin (π + 2 \cdot k \cdot π))

k \in ℤ

u_{1,2,3,4} = 2 \cdot cos (\frac{π + 2 \cdot k \cdot π}{4}) + i \cdot sin (\frac{π + 2 \cdot k \cdot π}{4})

k = 0, 1, 2, 3

usw.

rundblick aktiv_icon

13:13 Uhr, 30.11.2021

.
@Respon:
.. ganz kleine Anmerkung :
.. in den ersten zwei Zeilen fehlt je eine (nicht unwesentliche) Klammer ..
.. in der dritten Zeile fehlen deren zwei..
.

Respon

13:25 Uhr, 30.11.2021

Ja, so ist es ! Sorry !
Begründung

: 00 : 23

Also

- 16 = 16 \cdot (cos (π + 2 \cdot k \cdot π) + i \cdot sin (π + 2 \cdot k \cdot π))

k \in ℤ

... ...

u_{1,2,3,4} = 2 \cdot (cos (\frac{π + 2 \cdot k \cdot π}{4}) + i \cdot sin (\frac{π + 2 \cdot k \cdot π}{4}))

k = 0,1,2,3

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16:44 Uhr, 30.11.2021

Kämen jetzt noch weitere schritte oder wäre das dann schon?

rundblick aktiv_icon

16:59 Uhr, 30.11.2021

.

"Kämen jetzt noch weitere schritte oder wäre das dann schon?"

\to

könntest mal darüber nachdenken, warum wohl Respon oben

\to

"usw.." notierte

. .

. :-)

\to .

.
.

Respon

19:18 Uhr, 30.11.2021

@tegharin34
"Kämen jetzt noch weitere schritte oder wäre das dann schon?"

Die Unbekannte in deiner Gleichung heißt doch

z

.
Ich habe dir vorgeschlagen, den Zerm

z + 1 + i

vorerst als

u

zu bezeichnen und die 4 Lösungen der Gleichung

u^{4} = - 16

zu bestimmen.

u_{1,2,3,4} = 2 \cdot (cos (\frac{π + 2 \cdot k \cdot π}{4}) + i \cdot sin (\frac{π + 2 \cdot k \cdot π}{4}))

k = 0,1,2,3

Du musst

u_{1}, u_{2}, u_{3}

und

u_{4}

noch explizit bestimmen.

k = 0 \Rightarrow u_{1} = 2 \cdot (cos (\frac{π}{4}) + i \cdot sin (\frac{π}{4})) = 2 \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} + i \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} + i \cdot \sqrt{2}

k = 1 \Rightarrow u_{2} = 2 \cdot (cos (\frac{3 \cdot π}{4}) + i \cdot sin (\frac{3 \cdot π}{4})) = 2 \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2} + i \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} + i \cdot \sqrt{2}

k = 2 \Rightarrow u_{3} = . .

k = 3 \Rightarrow u_{4} = . .

z_{1} + 1 + i = u_{1} \Rightarrow z_{1} = u_{1} - 1 - i = \sqrt{2} + i \cdot \sqrt{2} - 1 - i = . .

.
Der Rest analog.

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22:30 Uhr, 01.12.2021

z 2 = (- 1 - 2 \sqrt{2} - i (2 \sqrt{2} + 1)

z 3 = (- 1 + 2 \sqrt{2}) - i (2 \sqrt{2} + 1)

das hab ich raus

Mathe45

22:40 Uhr, 01.12.2021

Damit du auch hier ein Häkchen machen kannst - alle 4 Lösungszahlen.

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23:46 Uhr, 01.12.2021

Hättest du den lösungsweg für

z 0

und

z 1

? komm da nicht auf die lösungen

die anderen hab ich

Mathe45

23:49 Uhr, 01.12.2021

"die anderen hab ich"
Deine zwei Lösungen stimmen aber nicht.

Mathe45

00:07 Uhr, 02.12.2021

... und schon ist er wieder verschwunden !

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00:07 Uhr, 02.12.2021

Nicht richtig? jetzt bin ich raus

Mathe45

00:15 Uhr, 02.12.2021

Respon hat dir den Rechenweg weiter oben doch gezeigt

u_{1} = \sqrt{2} + i \cdot \sqrt{2}

\Rightarrow

z_{1} = u_{1} - 1 - i = \sqrt{2} + i \cdot \sqrt{2} - 1 - i = \sqrt{2} - 1 + i \cdot (\sqrt{2} - 1)

Rest analog

Nirgends taucht ein "

2 \cdot \sqrt{2}

" auf.

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01:28 Uhr, 02.12.2021

z 2 = u 2 - 1 - i

z 3 = u 3 - 1 - i

z 4 = u 4 - 1 - i

so gehts dann weiter?

Mathe45

02:04 Uhr, 02.12.2021

Ja, du musst es aber auch ausrechnen.

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02:56 Uhr, 02.12.2021

ich weiß nicht ob es an der uhrzeit liegt, aber wenn ich das

k

einsetzte, wie berechne ich das in der klammer so runter dass ich auf das

u

komme

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02:56 Uhr, 02.12.2021

ich weiß nicht ob es an der uhrzeit liegt, aber wenn ich das

k

einsetzte, wie berechne ich das in der klammer so runter dass ich auf das

u

komme

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02:56 Uhr, 02.12.2021

ich weiß nicht ob es an der uhrzeit liegt, aber wenn ich das

k

einsetzte, wie berechne ich das in der klammer so runter dass ich auf das

u

komme

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02:56 Uhr, 02.12.2021

ich weiß nicht ob es an der uhrzeit liegt, aber wenn ich das

k

einsetzte, wie berechne ich das in der klammer so runter dass ich auf das

u

komme

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02:56 Uhr, 02.12.2021

ich weiß nicht ob es an der uhrzeit liegt, aber wenn ich das

k

einsetzte, wie berechne ich das in der klammer so runter dass ich auf das

u

komme

entschuldigen Sie die vielen antworten, das muss wohl einer Fehler in der Verarbeitung gewesen sein

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18:36 Uhr, 02.12.2021

haben sie den lösungsweg für die ausgerechneten u´s ?

ledum aktiv_icon

16:49 Uhr, 03.12.2021

Hallo
Du sollst doch lernen, nicht wir, also verarbeite das alles und löse selbst, im Notfall korrigiert jemand. Aber schreib, was bzw wie du rechnest dazu., Mit nur fertigen Lösungen schaden wir dir!
ledum

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22:49 Uhr, 05.12.2021

Hab es noch geschafft das richtige rauszukriegen :-)
Vielen Dank für die Hilfe!

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