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Alle Lösungen der Gleichung

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Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

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00:32 Uhr, 02.12.2021

Hab in einem Thread eine ähnliche Aufgabe gefunden, aber so wirklich schlau geworden bin ich daraus auch nicht. Gefordert sind alle Lösungen der Gleichung. Könnte mir jemand mit einem Lösungsweg behilflich sein

z^{3} = - 27 i

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Respon

01:04 Uhr, 02.12.2021

z^{3} = - 27 \cdot i = 27 \cdot (cos (\frac{3 \cdot π}{4} + 2 \cdot k \cdot π) + i \cdot sin (\frac{3 \cdot π}{4} + 2 \cdot k \cdot π))

k \in ℤ

\Rightarrow z_{1,2,3} = 3 \cdot (cos (\frac{\frac{3 \cdot π}{4} + 2 \cdot k \cdot π}{3}) + i \cdot sin (\frac{\frac{3 \cdot π}{4} + 2 \cdot k \cdot π}{3}))

k = 0,1,2

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01:23 Uhr, 02.12.2021

Vielen Dank für die späte Hilfe! Nun die einzelnen z´s auflösen? Könntest du vielleicht ein

z

komplett machen, damit ich bei den anderen quasi weiß "wie ich es mache" ?

Respon

01:33 Uhr, 02.12.2021

Ich habe mich oben verschrieben:

\frac{3 \cdot π}{2}

statt

\frac{3 \cdot π}{4}

z^{3} = - 27 \cdot i = 27 \cdot (cos (\frac{3 \cdot π}{2} + 2 \cdot k \cdot π) + i \cdot sin (\frac{3 \cdot π}{2} + 2 \cdot k \cdot π))

z_{1,2,3} = 27 \cdot (cos (\frac{\frac{3 \cdot π}{2} + 2 \cdot k \cdot π}{3}) + i \cdot sin (\frac{\frac{3 \cdot π}{2} + 2 \cdot k \cdot π}{3}))

k = 0

z_{1} = 3 \cdot (cos (\frac{π}{2}) + i \cdot sin (\frac{π}{2})) = 3 \cdot i

k = 1

z_{2} = 3 \cdot (cos (\frac{7 \cdot π}{6}) + i \cdot sin (\frac{7 \cdot π}{6})) = - \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2} - i \cdot \frac{3}{2}

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01:55 Uhr, 02.12.2021

k

geht dann bis drei hoch ?

Respon

01:56 Uhr, 02.12.2021

Mit

k = 0

berechnest du nur

z_{1}

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01:57 Uhr, 02.12.2021

pardon hab gerade gesehen

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01:57 Uhr, 02.12.2021

z 3

dann mit

k = 2

Respon

01:58 Uhr, 02.12.2021

So ist es. Wie sieht dein Ergebnis aus ?

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02:39 Uhr, 02.12.2021

krieg das Ergebnis gerade nicht raus, ist glaube zu spät für mich

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