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Alle Paare natürlicher Zahlen mit Gleichung..

Universität / Fachhochschule

Elementare Zahlentheorie

Primzahlen

Teilbarkeit

Tags: Elementare Zahlentheorie, Primzahl, Teilbarkeit

 
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Encephal

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13:08 Uhr, 16.09.2021

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Finde alle Paare natürlicher Zahlen mit der Gleichung 6b-5a- ab =56.

Ich habe ab=50 raus, da bin ich aber schon nicht sicher.

Und ich glaube, man kann die Paare irgendwie mit Primfaktorzerlegung finden, aber ich weiß nicht genau wie.

Vielen lieben Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
Respon

Respon

13:22 Uhr, 16.09.2021

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Stelle nach b um.
b=56+5⋅a6-a
Da der Zähler immer >0⇒ Nenner >0
Also 6-a>0
⇒a<6
Mögliche Werte für a:a=1,2,3,4,5
Diese Möglichkeiten "händisch" durchprobieren, 2 Möglichkeiten bleiben übrig.
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HAL9000

HAL9000

14:33 Uhr, 16.09.2021

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Oder so: Aus der Gleichung folgt durch Umstellung 86=30+6b-5a-ab=(6-a)⋅(5+b).

Sowohl 6-a als auch 5+b müssen ganzzahlige Teiler von 86=2⋅43 sein. Da zudem 5+b≥5 ist, bleiben gemäß der angegebenen Primfaktorzerlegung von 86 nur noch die beiden Möglichkeiten

1) 5+b=43 mit zugehörig 6-a=2, ergibt a=4,b=38.

2) 5+b=86 mit zugehörig 6-a=1, ergibt a=5,b=81.

Diese Idee entfaltet bei dieser Aufgabe noch nicht so ihre Strahlkraft, da ja auch mit Respons Methode nur 5 Zahlen durchzuprobieren sind. Aber das mit der Faktorisierung sollte man sich für ähnlich gelagerte Probleme merken - nach meiner Erfahrung oft sehr hilfreich!

Zudem kann man auch die veränderte Aufgabe leicht lösen, wenn man "natürlich" für a,b durch "ganz" ersetzt, das ergibt dann nämlich sechs weitere Lösungspaare (a,b).
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