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Alle Punkte auf einer Elliptischen Kurve berechnen

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Sonstiges

Tags: elliptisch, kurven

Andre589 aktiv_icon

01:33 Uhr, 09.07.2017

Hallo zusammen, ich habe eine Frage zu der Aufgabe wie ich alle Punkte auf einer Elliptischen Kurve berechne. Die dazu gegebene Gleichung ist im Anhang als Bild dabei. Leider hab ich selber noch keinen richtigen Ansatz dazu.

Danke schonmal für Hilfe im voraus !

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

abakus

12:53 Uhr, 09.07.2017

Mit ein klein wenig Arbeit (vollständige Fallunterscheidung, die ich dir nicht abnehmen möchte) findet man heraus, dass y² bei Teilung durch 7 nur die Reste 0, 1, 2 und 4 lässt.
Der Term x³+2x+2 lässt bei Teilung durch 7 nur die Reste 0, 2, 4, 5 und 6.
Finde also heraus:
Für welche Paare (x;y) lassen
- beide den Rest 0
- beide den Rest 2
- beide den Rest 4?

Andre589 aktiv_icon

13:19 Uhr, 09.07.2017

Danke schonmal für die Antwort, aber wie genau würde die Fallunterscheidung dafür aussehen? Also wie kamst du auf die gennanten Werte. Vielleicht kannst du ja für einen Wert mal ein Beispiel dazu angeben

abakus

14:31 Uhr, 09.07.2017

"aber wie genau würde die Fallunterscheidung dafür aussehen?"

Jede Zahl lässt bei Teilung durch 7 den Rest 0 oder 1 oder ... oder 6.

ermanus aktiv_icon

17:08 Uhr, 09.07.2017

Hallo Andre589,

du brauchst doch nur eine Wertetabelle für die Funktion

f (x) = x^{3} + 2 x + 2

für alle

x \in ℤ

anzulegen
und ebenso für

g (y) = y^{2}

, dann siehst du ja, was gast62 meint ...

Doch etwas Anderes: welche Formeln oder Methoden kennt ihr, um zwei Punkte
auf der elliptischen Kurve zu "addieren"?

Gruß ermanus

Andre589 aktiv_icon

18:40 Uhr, 09.07.2017

Wir kennen die Methode das man durch die 2 Punkte eine gerade zeichnet und diese solang zieht bis sie einen 3. Schnittpunkt hat. Dann von dem 3. Schnittpunkt senkrecht nach oben bis man wieder die Kurve schneidet da ist dann

p + q

.

Das sieht in Formeln so aus:

Für xpq = λ^2 -xp-xq
ypq = -yp+λ(xp-xpq)

Wobei λ die Steigung der geraden ist

ermanus aktiv_icon

21:49 Uhr, 09.07.2017

Die Formeln, die du da zur Bestimmung des dritten Schnittpunktes angibst,
dürfte wohl nur für eine ganz bestimmte elliptische Kurve gelten;
denn im Allgemeinen müssen doch die Parameter

a, b

y^{2} = x^{3} + a x + b

in den Formeln
auftauchen, oder habt ihr diese Formeln speziell für die elliptische Kurve
der gegebenen Aufgabe hergeleitet?

Hast du denn nun schon mal die Menge der Punkte der Kurve bestimmt?

Andre589 aktiv_icon

22:05 Uhr, 09.07.2017

Also die allgemeine Formel ist

y^{2}

≡

x^{3} +

+ b mod p

∪

{O} O

ist der Unendlich ferne Punkt.

Noch habe ich die Aufgabe nicht gelöst. Wir schreiben die Klausur dazu erst in 2 Monaten und ich lerne zur Zeit für eine andere. Die Aufgabe bezieht sich auf einen Übungszettel die ich neben dem lernen soweit wie möglich zu lösen.

ermanus aktiv_icon

23:12 Uhr, 09.07.2017

Ich kann ja mal ein paar meiner Ergebnisse zur Kontrolle mitteilen:
Es gibt 8 Punkte Modulo 7 (und den unendlich fernen Punkt

\infty

, der
bei der "Punktaddition" die Rolle der 0 spielt.
Der Punkt

(2, 0)

ist jedoch nicht regulär. Die Vielfachen von

α

,
also die "Summen"

α, 2 \cdot α = α + α, 3 \cdot α = α + α + α \dots

liefern sämtliche 7 regulären Punkte
und

\infty

als 8-ten Punkt.

Andre589 aktiv_icon

17:59 Uhr, 10.07.2017

Was hast du jetzt genau Schritt für Schritt gerechnet, dass du zu der Erkenntniss für den Punkt

a (2,0)

kommst ?

ermanus aktiv_icon

18:24 Uhr, 10.07.2017

Bitte nicht verwechseln,

α

ist der Punkt

(0, 3)

, nicht der singuläre Punkt

(2, 0)

.
Weitere Infos folgen ...

ermanus aktiv_icon

21:25 Uhr, 10.07.2017

Zunächst zur Suche nach singulären Punkten.
Ist

F (x, y) = 0

die (implizite) Gleichung einer algebraischen ebenen Kurve,
so heißt ein Punkt

(x_{0}, y_{0})

mit

F (x_{0}, y_{0}) = 0

singulär, wenn

F_{x} (x_{0}, y_{0}) = F_{y} (x_{0}, y_{0}) = 0

ist (

F_{x}, F_{y}

sind die partiellen Ableitungen von

F

).

In unserem Falle gilt

F (x, y) = y^{2} - x^{3} - 2 x - 2

, daher

F_{x} (x, y) = - 3 x^{2} - 2

und

F_{y} (x, y) = 2 y

F_{x} (x_{0}, y_{0}) = F_{y} (x_{0}, y_{0}) = 0

liefert

x_{0} = \pm 2, y_{0} = 0

.

Von den beiden Punkten

(- 2, 0)

und

(2, 0)

liegt aber nur

(2, 0)

auf der Kurve,
ist also der einzige singuläre Punkt.

Weiter in einem folgenden Post.

Andre589 aktiv_icon

13:12 Uhr, 11.07.2017

Okey ehm dazu noch eine Frage die Ordnung zu der Funktion der Elliptischen Kurve bestimmt man die wie bei einer "normalen" Funktion also ist die Ordnung in dem Fall hier 3 ?

Weil

x^{3}

der höchste Exponent ist

ermanus aktiv_icon

13:55 Uhr, 11.07.2017

Hallo,
die Ordnung einer Elliptischen Kurve ist die Anzahl ihrer Punkte + 1 (für den Punkt O).
Das wäre also in unserem Falle 8 + 1 = 9.
Leider funktioniert die allgemeine Theorie der elliptischen Funktionen in der
Aufgabenstellung nicht richtig, da die Kurve nicht regulär ist, was normalerweise aber
vorausgesetzt wird.
Man betrachtet normalerweise elliptische Kurven

y^{2} = x^{3} + a x + b

, für die

4 a^{3} + 27 b^{2} \neq 0

ist. Leider ist in unserem Falle

4 \cdot 2^{3} + 27 \cdot 2^{2} = 0

über

Z_{7}

.
Also irgendwie ist der "Wurm" in dieser Aufgabe.

Andre589 aktiv_icon

16:38 Uhr, 11.07.2017

Hm ja ein wenig schon, ich kann morgen mal die Lösung posten. Ich hab morgen die passende Übung dazu, dann wird die Aufgabe besprochen.

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