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Alle möglichen Zahlen um Summe zu erreichen

Universität / Fachhochschule

Algebraische Zahlentheorie

Tags: Zahlentheorie

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17:13 Uhr, 16.01.2019

Hey, habe folgende Frage

Finde alle natürlichen Zahlen

a_{1} \leq a_{2} \leq . .

\leq a_{14},

sodass

{(a_{1})}^{4} + {(a_{2})}^{4} . .

+ {(a_{14})}^{4} = 1599

Hinweis: für alle

a \in ℕ

gilt:

R_{16} (a^{4}) \in {0,1}

Irgendwie blick ich nicht ganz durch.
Ich suche also

14

Zahlen, welche zusammen

1599

ergeben müssen. Also, wenn die Zahlen unterschiedlich sein müssten, wäre es ja nicht möglich.
Die ersten paar

a^{4}

sind ja:

0,1,16,81,256,625,1296

.

Wie genau soll ich den das lösen unter der Verwendung des Hinweises ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

17:50 Uhr, 16.01.2019

Hallo,
bedeutet

R_{16} (x)

den kleinsten nichtnegativen Rest von

x

modulo

16

?
Gruß ermanus

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17:53 Uhr, 16.01.2019

Ja, also für

z . B x = 5

wäre es dann

R_{16} (5^{4}) = R_{16} (625) = 1

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17:54 Uhr, 16.01.2019

Ah. Prima.
Dann mach dir doch mal Gedanken über

R_{16} (1599)

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19:12 Uhr, 16.01.2019

Na ja,

R_{16} (1599) = 15,

aber ich wüsst jetzt wirklich nicht was mir das bringt. Ich mein, sowas wie

R_{16} ({(a_{1})}^{4}) + R_{16} ({(a_{2})}^{4}) + . .

+ R_{16} ({(a_{14})}^{4}) = R_{16} (1599)

ist irgendwie das einzige, was mir einfällt was ich damit anstellen könnte.

Aber

1)

weiss ich nichtmal ob der Zusammenhang stimmen würde und

2)

wäre es gar nicht möglich, mit

14

Zahlen, mit Wert

{0,1}

auf

15

zu kommen.

Sorry, aber ich weiss beim besten Willen nicht, wie ich das lösen kann

ermanus aktiv_icon

19:17 Uhr, 16.01.2019

Du hast doch deine Lösung ...
Es gibt keine solchen Zahlen!

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19:43 Uhr, 16.01.2019

Na ja, wieso kann ich sagen, dass es keine Zahlen gibt. Die Frage ist ja nach Zahlen

{(a_{1})}^{4} + {(a_{2})}^{4} + . .

+ {(a_{14})}^{4} = 1599

Wieso kann ich das von

R_{16} ({(a_{1})}^{4}) + R_{16} ({(a_{2})}^{4}) + . .

+ R_{16} ({(a_{14})}^{4}) = R_{16} (1599)

schliessen?

Ich mein zum Beispiel für:

5 + 10 = 15

R_{3} (5) + R_{3} (10) \neq R_{3} (15)

2 + 1 \neq 0

Hoffe du verstehst was ich meine.

Roman-22

20:05 Uhr, 16.01.2019

R_{n} (x + y) = R_{n} (R_{n} (x) + R_{n} (y))

Dein "Gegenbeispiel" zeigt das doch auch, denn

R_{3} (R_{3} (10) + R_{3} (5)) = R_{3} (1 + 2) = 0 = R_{3} (15)

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20:28 Uhr, 16.01.2019

Trotzdem ist mir nicht klar, wie ich von

R_{16} ({(a_{1})}^{4}) + R_{16} ({(a_{2})}^{4}) + . .

+ R_{16} ({(a_{14})}^{4}) = R_{16} (1599)

schliessen kann, dass es keine Zahlen gibt unter der Voraussetzung, dass

R_{16} (n^{4}) = {0,1},

sodass

a_{1} + a_{2} + . .

= 1599

Roman-22

20:49 Uhr, 16.01.2019

Aus

a_{1}^{4} + a_{2}^{4} + ... + a_{14}^{4} = 1599

folgt nicht zwangsläufig

R_{16} (a_{1}^{4}) + R_{16} (a_{2}^{4}) + . .

+ R_{16} (a_{14}^{4}) = R_{16} (1599),

wohl aber

R_{16} (R_{16} (a_{1}^{4}) + R_{16} (a_{2}^{4}) + . .

+ R_{16} (a_{14}^{4})) = R_{16} (1599)

Da deine

R_{16} (a_{n}^{4})

aber allesamt aus

{0,1}

stammen, kann man das äüßere

R_{16} ()

in deinem Fall getrost weglassen.
Wenn

14

zahlen die Summe

1599

ergeben, dann müsste die Summe ihrer Reste bei Division durch

16

den Wert

15 + k \cdot 16

mit

k \in ℕ

ergeben. Das wird mit bestenfalls

14

Einsen aber schwer möglich sein.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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