Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Allgemeine Lösung Differentialgleichungssystem

Allgemeine Lösung Differentialgleichungssystem

Universität / Fachhochschule

Tags: DGL's

lifescience aktiv_icon

14:42 Uhr, 08.02.2017

Hallo zusammen,
ich brauche dringend Hilfe bei folgender Aufgabe:

1)

Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des Differentialgleichungssystems gegeben durch:

y = (\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & - 2 & 4 \\ 0 & - 2 & 2 \end{matrix}) \cdot y

Die Eigenwerte habe ich bestimmt und komme auf

x_{1} = 2

und

x_{2,3} = 1

. Zu

x_{1}

bekomme ich den Eigenvektor

V 1 =

((1),(0),(0))und zu

x_{2,3}

bekomme ich den Eigenvektor

V 2 = (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

.
Ab hier versteh ich nicht wie ich weiterverfahren soll.. ich habe schon etwas recherchiert und herausgefunden, dass man Hauptvektoren(?) bestimmen muss. Von meinem Eigenvektor

x_{2,3}

weiß ich die algebraische Vielfachheit, sie ist 2. Die alg. Vielfachheit von

x_{1}

ist 1. Also gibt es

k \leq 1

unabhängige Hauptvektoren zum Eiegnwert.
Wie mache ich jetzt weiter, wie bestimme ich die Hauptvektoren und wie geht es dann weiter?
Danke an alle die mir helfen können :-)

mihisu aktiv_icon

14:51 Uhr, 08.02.2017

Zunächst einmal fehlt dir bei der Differentialgleichung wahrscheinlich eine Ableitung. Es soll wohl "

y^{'} =

" statt "

y =

" lauten, oder?

Ich komme übrigens auf andere Eigenwerte.

Die Matrix

A := (\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & - 2 & 4 \\ 0 & - 2 & 2 \end{matrix})

hat die Eigenwerte 1 und

- 2 i

und

2 i

.

Du hast dich also wohl verrechnet, oder die Matrix falsch abgeschrieben.
Bitte kläre das nochmal, bevor wir weitermachen.

lifescience aktiv_icon

14:55 Uhr, 08.02.2017

Mit beidem hast du selbstverständlich recht.
Die Matrix habe ich falsch angegeben, ich bin wohl in der Zeile verrutscht, sorry.
Sie lautet

(\begin{matrix} 2,1,2 \\ 0,1,3 \\ 0,0,1 \end{matrix})

.

Die berechneten Eigenwerte und Eigenvektoren müssten aber jetzt stimmen.

mihisu aktiv_icon

15:04 Uhr, 08.02.2017

Ja, die Eigenwerte und Eigenvektoren passen jetzt.

Zum Eigenwert 2 mit algebraischer Vielfachheit 1 hast du einen Eigenvektor. Da brauchst du keine weitren Hauptvektoren zu bestimmen.

Der Eigenwert 1 hat algebraische Vielfachheit 2. Jedoch ist der zugehörige Eigenraum nicht zweidimensional, sondern nur eindimensional, so dass wir also noch einen Hauptvektor bestimmen müssen.

Da gibt es jetzt folgende Vorgehensweisen:

Erste Möglichkeit: Bestimme ker((A-1*E))^2 und suche dir einen Vektor

h_{2}

darin, der kein Eigenvektor ist. Dabei sei

E

die Einheitsmatrix.

Zweite Möglichkeit (hier einfacher):
Löse das Gleichungssystem

(A - 1 \cdot E) \cdot h_{2} = v_{2},

wobei

v_{2} = (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

dein Eigenvektor ist.
Du erhälst dann einen Hauptvektor

h_{2},

den du weiterverwenden kannst.

Bestimme also mit einer der beiden Möglichkeiten einen entsprechenden Hauptvektor (erster Stufe)

h_{2}

zum Eigenwert 1.

lifescience aktiv_icon

15:19 Uhr, 08.02.2017

super danke bis dahin.
ich bekomme:

(\begin{matrix} 1,1,2 \\ 0,0,3 \\ 0,0,0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} h 1 \\ h 2 \\ h 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

h 2

und

h 3

kann ich frei wählen.

h 2

setzte ich

c 1

und

h 3

setze ich

c 2

h 1

ist demzufolge

- c 1 - 5 \cdot c 2

So wie geht es dann weiter?
Die Lösung für

h

wäre ja

: (\begin{matrix} - c 1 - 5 c 2 \\ c 1 \\ c 2 \end{matrix}),

was ich auch als

c 1 (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + c 2 \cdot (\begin{matrix} - 5 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

schreiben kann.

mihisu aktiv_icon

16:18 Uhr, 08.02.2017

h 2

darfst du frei wählen,

h 3

jedoch nicht. Dieses ist durch die "zweite Zeile" festgelegt:

h_{3} = 1

.

Ansonsten passt es:

c_{1} \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} - \frac{5}{3} \\ 0 \\ \frac{1}{3} \end{matrix})

Du wählst nun einen beliebigen dieser Vektoren aus. Beispielsweise einfach (für

c_{1} = 0)

den Vektor:

v_{3} := (\begin{matrix} - \frac{5}{3} \\ 0 \\ \frac{1}{3} \end{matrix})

Nun ist durch

y_{1} (x) = e^{2 \cdot x} \cdot v_{1}

y_{2} (x) = e^{1 \cdot x} \cdot v_{2}

y_{3} (x) = e^{1 \cdot x} \cdot (x \cdot v_{2} + v_{3})

ein Fundamentalsystem

{y_{1}, y_{2}, y_{3}}

der Differentialgleichung gegeben.

Wie bin ich darauf gekommen:
Die Basisfunktionen jeweils von der Form

y_{k} (x) = e^{λ_{k} \cdot x} \cdot v_{k}

für einen Eigenvektor

v_{k}

zum Eigenwert

λ_{k}

.
Bzw. von der Form

y_{k} (x) = e^{λ_{k} \cdot x} \cdot (x \cdot v_{k} + v_{k - 1})

für einen Hauptvektor

v_{k}

erster Stufe zum Eigenwert

λ_{k},

wobei

v_{k - 1}

ein passender Eigenvektor ist.
Bzw. von der Form

y_{k} (x) = e^{λ_{k} \cdot x} \cdot (\frac{x^{m}}{m!} \cdot v_{k} + \frac{x^{m - 1}}{(m - 1)!} \cdot v_{k - 1} + ... + v_{k - m})

für einen Hauptvektor

v_{k}

m-ter Stufe zum Eigenwert

λ_{k},

wobei

v_{k - 1}, ..., v_{k - m}

die passenden Hauptvektoren niedrigerer Stufe sind.

Nun hast du also ein Fundamentalsystem. Damit ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung gegeben, durch

y = C_{1} \cdot y_{1} + C_{2} \cdot y_{2} + C_{3} \cdot y_{3}

mit Konstanten

C_{1}, C_{2}, C_{3}

lifescience aktiv_icon

09:31 Uhr, 09.02.2017

Hallo, also zuerst einmal danke das ist wirklich super erklärt und auch die Definitionen verstehe ich!
Wie allerdings kommst du auf

y_{3}

? Und welche "Stufe" hat unser Hauptvektor?
Danke für deine Hilfe :-)

lifescience aktiv_icon

10:16 Uhr, 09.02.2017

Haben wir hier nicht die Stufe 2? Und müsste es dann nicht oben beim Gleichungsystem heißen

{(A - 1 \cdot E)}^{2} \cdot h 2 = v 2

ledum aktiv_icon

12:38 Uhr, 09.02.2017

Hallo
lies noch mal den post von M. von

15 : 04

Uhr,

08.02.2017

da standen 2 Möglichkeiten den HV zu bestimmen.
Gruß ledum

mihisu aktiv_icon

12:11 Uhr, 10.02.2017

Wenn du dir anschaust wie Eigenvektoren definiert sind, so sind Eigenvektoren von A zu einem Eigenwert

λ

Vektoren

v

mit:

A v = λ v, v \neq 0

bzw.

(A - λ E) v = 0, {(A - λ E)}^{0} v = E v = v \neq 0

bzw.

v \in k e r (A - λ E), v \notin k e r ({(A - λ E)}^{0})

.

Das kann man nun etwas verallgemeinern. Statt nur Eigenvektoren

v

mit

(A - λ E) v = 0

zu betrachten, kann man auch Hauptvektoren

v

mit

{(A - λ E)}^{k} v = 0

für ein

k \in ℕ

betrachten.
Einen Vektor

v

mit

{(A - λ E)}^{m + 1} v = 0, {(A - λ E)}^{m} v \neq 0

bzw.

v \in k e r ({(A - λ E)}^{m + 1}), v \notin k e r ({(A - λ E)}^{m})

nennt man Hauptvektor m-ter Stufe von A zum Eigenwert

λ

. Insbesondere sind Eigenvektoren also Hauptvektoren 0-ter Stufe.

Dabei haben wir anscheinend in der linearen Algebra die Stufen wohl ein wenig ungewöhnlich bezeichnet. (Deshalb evtl. auch deine Verwirrung.) Die meisten, welche von Stufen bei Hauptvektoren sprechen, nennen einen Hauptvektor

v

mit

{(A - λ E)}^{m + 1} v = 0, {(A - λ E)}^{m} v \neq 0

bzw.

v \in k e r ({(A - λ E)}^{m + 1}), v \notin k e r ({(A - λ E)}^{m})

nicht Hauptvektor m-ter Stufe, sondern Hauptvektor (m+1)-ter Stufe, so dass dann beispielsweise Eigenvektoren auch Hauptvektoren 1-ter Stufe sind.
Da dies wohl weiter verbreitet ist, werde ich mich im Folgenden anpassen, also im Folgenden die folgende Bezeichnung verwenden:

\\\\
Wenn

{(A - λ E)}^{m} v = 0, {(A - λ E)}^{m - 1} v \neq 0

bzw.

v \in k e r ({(A - λ E)}^{m}), v \notin k e r ({(A - λ E)}^{m - 1})

für ein

m \in ℕ

ist, so bezeichnet man

v

als Hauptvektor m-ter Stufe von A zum Eigenwert

λ

.
\\\\

Bei uns haben wir also den Eigenvektor

v_{1}

von A zum Eigenwert

x_{1} = 2

. Daher haben wir: (Weil man das gelernt hat. Ich könnte dir das auch nochmal herleiten, wenn du möchtest. Beim Lösen der Aufgabe, beispielsweise in einer Klausur, würde ich das aber nicht extra nochmal herleiten, da man das dann als bekannt voraussetzen kann.)

y_{1} (x) := e^{x_{1} \cdot x} \cdot v_{1} = e^{2 \cdot x} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

Wir haben außerdem den Eigenvektor

v_{2}

von A zum Eigenwert

x_{2, 3} = 1,

also:

y_{2} (x) := e^{x_{2, 3} \cdot x} \cdot v_{2} = e^{1 \cdot x} \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

Schließlich haben wir noch den Hauptvektor

v_{3}

zweiter Stufe von A zum Eigenwert

x_{2, 3} = 1

. (In meinem vorigen Beitrag hatte ich den als Hauptvektor erster Stufe bezeichnet. Aber ich habe mich ja nun den üblicheren Bezeichnungen angepasst.) Das ist jetzt kein Eigenvektor, so dass wir NICHT einfach

y_{3} (x) := e^{x_{2, 3} \cdot x} \cdot v_{3}

wählen können. Diese Funktion würde die Differentialgleichung nicht erfüllen. Anstatt hinter die Exponentialfunktion einfach den Vektor

v_{3}

zu schreiben, muss man ein gewisses Polynom bilden, bei dem neben

v_{3}

auch der dazu passende Eigenvektor

v_{2}

mit

v_{2} = (A - λ E) v_{3}

vorkommt. Und zwar:

y_{3} (x) := e^{x_{2, 3} \cdot x} \cdot (x \cdot v_{2} + v_{3})

Damit hat man dann ein Fundamentalsystem

{y_{1}, y_{2}, y_{3}}

der Differentialgleichung.

\\\\

Im Allgemeinen erhält man Basisfunktionen

y_{k}

folgendermaßen: Zu einem Hauptvektor

v_{k}

m-ter Stufe zum Eigenwert

λ_{k}

wählt man:

y_{k} (x) = e^{λ_{k} x} \cdot \sum_{d = 0}^{m - 1} (\frac{x^{d}}{d!} \cdot v_{k - d})

y_{k} (x) = e^{λ_{k} x} \cdot (\frac{x^{m - 1}}{(m - 1)!} v_{k - m + 1} + \frac{x^{m - 2}}{(m - 2)!} v_{k - m + 2} + ... + x \cdot v_{k - 1} + v_{k})

Dabei ist

v_{k}

der Hauptvektor m-ter Stufe,

v_{k - 1}

ein passender Hauptvektor (m-1)-ter Stufe,

..., v_{k - m + 2}

ein passender Hauptvektor zweiter Stufe,

v_{k - m + 1}

ein passender Hauptvektor erster Stufe (also ein Eigenvektor). "Passend" bedeutet dabei, dass gelten soll:

v_{k - 1} = (A - λ E) v_{k}, ..., v_{k - m + 1} = (A - λ E) v_{k - m + 2}

\\\\

In unserem Fall haben wir also den Hauptvektor

v_{3}

zweiter Stufe, den wir gerade so ausgerechnet hatten, dass

v_{2} = (A - λ E) v_{3}

ist, so dass

v_{2}

"passend" zu

v_{3}

ist.

v_{3}

ist übrigens Hauptvektor zweiter Stufe, da gilt:

{(A - x_{2, 3} E)}^{2} v_{3} = (A - x_{2, 3} E) (A - x_{2, 3} E) v_{3} = (A - x_{2, 3} E) v_{2} = 0

(A - x_{2, 3} E) v_{3} = v_{2} \neq 0

Also erhalten wir nach angegebener Formel:

y_{k} (x) = e^{x_{2, 3} x} \cdot (\frac{x^{1}}{1!} \cdot v_{2} + \frac{x^{0}}{0!} \cdot v_{2}) = e^{1 x} \cdot (x \cdot v_{2} + v_{2})

lifescience aktiv_icon

12:22 Uhr, 10.02.2017

Danke echt super erklärt, jetzt hab ichs verstanden :-)

1355688

1355275

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?