Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Allgemeine Summenformel bestimmen

Allgemeine Summenformel bestimmen

Schüler

Tags: Summenformel

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
Ralf123

Ralf123 aktiv_icon

18:28 Uhr, 03.08.2015

Antworten
Hallo,

weiß jemand, wie man die allgemeine Summenformel für

k=0n(a+bk+ck2)

a) bestimmen und
b) beweisen kann.

Ralf

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
Werner-Salomon

Werner-Salomon aktiv_icon

18:40 Uhr, 03.08.2015

Antworten
Hallo Ralf,

zerlege das Problem zunächst in Häppchen:
=ak=0n1+bk=0nk+ck=0nk2
mit den ersten beiden Summanden solltest Du keine Schwierigkeiten haben

Gruß
Werner
Antwort
Mathe45

Mathe45

18:52 Uhr, 03.08.2015

Antworten
k=0n(a+bk+ck2)=k=0na+k=0nbk+k=0kck2=
=(n+1)a+bnn+12+c16n(n+1)(2n+1)
( Die Summe der Quadratzahlen als fertige Formel übernehmen )
Eventuell noch vereinfachen.

Ralf123

Ralf123 aktiv_icon

19:58 Uhr, 03.08.2015

Antworten
Danke für die beiden Antworten.

Ihr löst die Aufgabe, indem ihr sie auf bekannte und bewiesene Summenformeln zurückführt.

Das Ergebnis ist dann also

s(n)=a+(a+b2+c6)n+(b2+c2)n2+c3n3.

Wie das so aussieht, gilt wohl die allgemeine Regel:

Summiert man über ein Polynom k-ten Grades, so ist die Summenformel ein Polynom (k+1)-ten Grades, was ja auch an das Integrieren erinnert.

Ralf




Antwort
oculus

oculus aktiv_icon

10:39 Uhr, 04.08.2015

Antworten
Wenn du deine Vermutung beweisen könntest, dass die Summenformel für eine über ein Polynom n-ten Grades gebildete Summe ein Polynom (n+1)ten Grades ist, könntest du die Aufgabe auch mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems lösen, und zwar so:

p(n):=a+bn+cn2s(n)=u+vn+wn2+xn3

p(0)=a------s(0)=u+0n+0n2+0n3=a
p(1)=a+b+c---s(1)=u+1n+1n2+1n3=2a+b+c
p(2)=a+2b+4c-s(2)=u+2n+4n2+8n3=3a+3b+5c
p(3)=a+3b+9c-s(3)=u+3n+9n2+27n3=24a+6b+14c

(1000a11112a+b+c12483a+3b+5c1392724a+6b+14c) äq (1000a0100a+b2+c20010b2+c20001c3)
u=a,v=a+b2+c2,w=b2+c2,x=c3

Hierbei braucht man keinerlei Vorkenntnisse über bereits bewiesene Summenformeln.

oculus
Antwort
Bummerang

Bummerang

14:56 Uhr, 04.08.2015

Antworten
Hallo oculus,

nette Alternativlösung, aber nicht gut kontrolliert:

1. die 24a sind nur 4a

2. die c2 bei v sind c6

Dann stimmt Deine Lösung auch auffallend mit der von Ralf123 überein...
Antwort
oculus

oculus aktiv_icon

16:05 Uhr, 04.08.2015

Antworten
Hallo Ralf,

dann will ich die beiden von Bummerang gefundenen Schreibfehler, die mir beim Kopieren der Matrix aus meinem Rechner unterlaufen sind, mal schnell korrigieren:

p(n):=a+bn+cn2s(n)=u+vn+wn2+xn3

p(0)=a------s(0)=u+0n+0n2+0n3=a
p(1)=a+b+c---s(1)=u+1n+1n2+1n3=2a+b+c
p(2)=a+2b+4c-s(2)=u+2n+4n2+8n3=3a+3b+5c
p(3)=a+3b+9c-s(3)=u+3n+9n2+27n3=4a+6b+14c

(1000a11112a+b+c12483a+3b+5c139274a+6b+14c) äq (1000a0100a+b2+c60010b2+c20001c3)
u=a,v=a+b2+c6,w=b2+c2,x=c3.

Täusche ich mich, Bummerang, wenn ich annehme, dass diese "nette AlternativLösung" auch für dich, ein langjährig bewährtes Forumsmitglied, neu war ?

Wenn wir jetzt noch Ralf auf die Sprünge helfen, wie er den Beweis für seine Vermutung hinkriegt, wäre die Sache schön abgerundet.

Freundliche Grüße

oculus






Antwort
oculus

oculus aktiv_icon

12:08 Uhr, 06.08.2015

Antworten
Hallo Ralf,

ich habe die Beweisfrage zusammen mit einem anderen Beispiel jetzt dem Forum für Studenten gestellt. Vielleicht weiß einer dort, wie man deine Vermutung bestätigen kann. Gucke dort mal.

Gruß von
oculus


Frage beantwortet
Ralf123

Ralf123 aktiv_icon

13:33 Uhr, 06.08.2015

Antworten
Danke an alle, die geantwortet haben.

Ich habe den Beweis von oculus im Studentenforum gelesen und meine, er ist richtig.

Ralf