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Allgemeine komplexe Lösung DGL-System doppelter EW

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: DGL System, Gewöhnliche Differentialgleichungen, komplexe Lösung

vito2017 aktiv_icon

11:15 Uhr, 14.08.2022

Hallo zusammen,

ich versuche mich an folgender Aufgabe:

Gegeben sei das DGL-System $y ʹ = A y$ mit
$A = (\begin{array}{rcl} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{array})$

Es sollen die Eigenwerte, Eigenvektoren Hauptvektoren und zum Schluss die allgemeine komplexe Lösung bestimmt werden.

Die Eigenwerte sind $λ_{1, 2} = 2$ und $λ_{3} = 3$

die Eigenvektoren $v_{1} = (\begin{array}{rcl} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array})$
und $v_{3} = (\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$
der Hauptvektor zu $v_{1} : v_{2} = (\begin{array}{rcl} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})$

Jetzt dachte ich, die allgemeine komplexe Lösung wäre

$y (x) = c_{1} e^{2 x} v_{1} + c_{2} x e^{2 x} v_{2} + c_{3} e^{3 x} m i t c_{i} \in ℂ$

aber die Lösung sagt:

$y (x) = c_{1} e^{2 x} v_{1} + c_{2} e^{2 x} (\begin{array}{rcl} x - 1 \\ 1 \\ - x \end{array}) + c_{3} e^{3 x} m i t c_{i} \in ℂ$

wobei man am zweiten Vektor sieht, dass $v_{1} * x + v_{2}$ gerechnet wurde.

Meine Frage ist nun, wie komme ich darauf?

Vielen Dank im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

12:27 Uhr, 14.08.2022

Rechne es nach: $y = (v_{1} x + v_{2}) e^{2 x}$ erfüllt die DGL (und zwar aufgrund der Hauptvektorkette $(A - 2 E) v_{2} = v_{1}$ ), während dies $y = v_{2} x e^{2 x}$ nicht tut.

vito2017 aktiv_icon

12:41 Uhr, 14.08.2022

Danke schonmal. Das beantwortet aber leider nicht meine Frage, wie ich darauf kommen soll.

HAL9000

12:45 Uhr, 14.08.2022

Immer wieder interessant, wie Leute fordern, ohne großen Aufwand von selbst auf was "kommen" zu wollen. Na mal sehen, ob jemand eine deinen didaktischen Ansprüchen genügende Erklärung findet. ;-)

vito2017 aktiv_icon

12:49 Uhr, 14.08.2022

Entschuldige aber was heißt auf etwas kommen wollen ohne großen Aufwand?

Ich habe das meiste der Aufgabe berechnet, auch meine restlichen Erkenntnisse genannt und an welchem Punkt ich genau ein Problem habe und nicht gesagt "Das ist die Aufgabe, wie lautet der Lösungsweg und die Lösung". Aroganz ist total überflüssig. Wenn du nicht helfen willst, dann kommentiere nicht.

HAL9000

12:56 Uhr, 14.08.2022

Allgemein hat man für eine Hauptvektorkette $v_{1}, \dots, v_{m}$ der Länge $m$ für Eigenwert $λ$ die Eigenschaft $(A - λ E) v_{k} = v_{k - 1}$ und damit $A v_{k} = λ v_{k} + v_{k - 1}$ für $k = 1, \dots, m$ , sofern man zusätzlich $v_{0} = 0$ setzt.

Mit dieser Eigenschaft kann man nun nachweisen, dass die Funktionen $y_{r} := \sum_{j = 0}^{r - 1} \frac{v_{r - j}}{j!} x^{j} e^{λ x}$ für $1 \leq r \leq m$ die DGL lösen, während es dein heuristisch motivierter Ansatz $y \overset{?}{=} v_{r} x^{r} e^{λ x}$ es für $2 \leq r \leq m$ eben nicht tut, wie eine einfache Probe erweist.

Loewe1

19:22 Uhr, 14.08.2022

Hallo,

habs mal gerechnet:

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