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Allgemeiner Beweis zu Häufungspunkten

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen, Reihen

Prahlehans aktiv_icon

15:54 Uhr, 04.11.2009

Ich habe die Definition eines Häufungspunktes gegeben, also halt:

a ist Häufungspunkt einer Folge ${(a_{n})}_{n \in N}$ <==> $\exists$ konvergente Teilfolge von

${(a_{n})}_{n \in N}$ .

Aufgabe:

(a) Zeigen Sie: a ist Häufungspunkt einer Folge ${(a_{n})}_{n \in N}$

<==> $\forall ϵ > 0 : \forall N \in N \exists n \geq N : | a_{n} - a | \leq ϵ$

(b) Vergleichen Sie die Aussage aus (a) mit der Definition des Grenzwertes einer Folge und diskutieren Sie den Unterschied.

So an den Beweis weiß ich nicht ranzugehen und ich muss gestehen, irgendwie sieht meine Def. im Hefter zum Grenzwert genauso aus, wie die in (a). Das kann ja aber nich sein, oder?

Kosekans aktiv_icon

00:24 Uhr, 06.11.2009

Von einem Grenzwert wird gefordert, dass in jeder

ε -

Umgebung FAST ALLE (also alle, bis auf ENDLICH viele Ausnahmen) Folgenglieder liegen.
Bei einem Häufungspunkt müssen dies "nur" unendlich viele sein. Es können also "nochmals" unendlich viele Folgenglieder für weitere Häufungspunkte übrig bleiben.
Wenn eine Folge einen Grenzwert hat, dann ist dieser Grenzwert insbesondere auch ein Folgenhäufungspunkt.
Wenn eine Folge mehrere Folgenhäufungspunkte hat, dann hat sie keinen Grenzwert.

Kannst du mal schauen ob du einen Tippfehler drin hast? Irgendwie gibt das doch so keinen Sinn.
Müsste es nicht heissen

\forall ε > 0 \exists N \in ℕ \forall n \geq N : | a_{n} - a | \leq ε \Leftrightarrow a

ist Häufungspunkt von

{(a_{n})}_{n \in ℕ},

die Aussage also lauten:
a ist genau dann Häufungspunkt einer Folge wenn a der Grenzwert ist?

Gesetzt den Fall es wäre so, dann wäre die Aussage falsch, Gegenbeispiel

a_{n} = {(- 1)}^{n}

michaL aktiv_icon

10:14 Uhr, 06.11.2009

Hallo Matthias,

ich bringe mal Licht ins Dunkel (hoffe ich).
Wenn du ganz genau hinschaust, erkennst du, dass da zwei Quantoren die Plätze getauscht haben:

(a_{n})

konvergiert gegen

a

: \overset{}{\Leftrightarrow} \forall ε > 0 \exists N \in ℕ \forall n > N : ∣ a_{n} - a ∣ < ε

(a_{n})

hat den HP

a \overset{}{\Leftrightarrow} \forall ε > 0 \forall N \in ℕ \exists n \geq N : ∣ a_{n} - a ∣ < ε

Siehst du den Unterschied?
Es ist also ok, eine solche Aufgabe zu stellen. Dabei ist es sogar unerheblich, ob beim zweiten bei

n \geq N

ein "

\geq

" oder ein echtes "

>

" steht, aber das soll ja hier nicht von Bedeutung sein.

Ich hoffe, das bringt dich vorwärts und du kommst jetzt mit dem Beweis klar, der wirklich nicht schwierig ist. Denke daran, beide Implikationen ("

\Rightarrow

" und "

\Leftarrow

") getrennt anzugehen, das ist meist einfacher.

Mfg MIchael

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