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Allgemeinheit der Dreier-Regel
Universität / Fachhochschule
Tags: Quersumme, Teil
 
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Aus der Schule ist die folgende Dreier-Regel bekannt: Genau dann ist eine natürliche Zahl durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.Beweisen Sie den folgenden (viel allgemeineren) Sachverhalt und begründen Sie, inwiefern die Dreier-Regel ein Spezialfall ist. Es sei eine in ihrer Dezimaldarstellung gegebene natürliche Zahl. Weiter sei ∈ mit ggT( gegeben. Schließlich sei für . Dann gilt: Genau dann teilt die Zahl wenn ein Teiler von ist. Also die Aufgabe verwirrt mich..ich habe deshalb versucht es anhand von kleine zahlen zu verstehen. Für ist dann die so weiß ich aber nicht wie man ausrechnen kann. Die Teiler von sind aber und ggt also kann in dem Fall nur 3 sein. dann ist Das gleiche habe ich für gemacht. Aus alle Teiler von kann nur sein und dann bekommt man das gleiche aus der summer Gibt es eine Formel für um auszurechnen ? oder wie soll ich überhaupt anfangen bei diese Aufgabe ? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Du sollst doch kein berechnen, sondern eine allgemeine Teilbarkeitsregel beweisen und daraus dann speziell die bekannte Teilbarkeitsregel für 3 (und auch für ableiten. Ein Beispiel: Die Zahl sei also und . Und wir wollen beispielsweise wissen, ob diese Zahl durch restlos teilbar ist. Dazu betrachten wir die Reste, die sich bei Division der 10er Potenzen durch 7 einstellen, also die EDIT: Sehe gerade, das Pleindespoir trotz meines Hinweises, dass es gleich weiter geht, nicht an sich halten konnte und wie es scheint auch den Hintergrund deiner Frage irgendwie ignoriert hat. Wie auch immer - nach der Regel, die du zeigen sollst, müssen wir nun den Ausdruck bilden. Wenn diese Zahl durch 7 teilbar ist (und das ist sie), dann besagt die Regel, dass auch die Ausgangszahl restlos durch 7 teilbar ist. Anmerkung: natürlich kannst du anstelle des Rests 6 auch das äquivalente verwenden. Damit kommst du dann anstelle auf auf die Zahl die natürlich ebenfalls durch 7 teilbar ist. Und diese Regel musst du eben für beliebige Zahlen und beliebige Primzahlen zeigen. Anders ausgedrückt musst du zeigen, dass durch teilbar ist, wenn durch teilbar ist. Die Ableitung der bekannten Teilbarkeitsregel für 3 ergibt sich dann ganz leicht daraus, wenn du beachtest, dass für alle gilt. |
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Die Teilbarkeit durch 9 ist auch eine Prüfmethode, die mit einfacher Quersumme funktioniert. 9 ist allerdings keine Primzahl. Bei allen anderen Teilern muss die Quersumme modifiziert werden. Bei der 11 alternierend - bei vielen Teilern wiederholt sich das Modifizierungsmuster in überschaubarer Länge und enthält Faktoren größer 1. 7: ← 1;-2;-3;-1;2;3;1 13: ← 1;4;3;-1;-4;-3;1 |
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ok also zuerst wirklich danke roman für deine Antwort, das ist super hilfreich. Ich hab schon ein riesigen Fehler in meine Berechnungen gemacht, weil ich die Summe als und daraus modulo berechnet...also . hätte ich für . aber das modulo bezieht sich nur auf die zahl die vorne steht. Wie modulo genau funktioniert lerne ich noch gerade. Ok also wenn ich das richtig verstanden habe, soll diese Formel für eine Zahl gelten, nur wenn für alle ∈ gilt. Also die Quersumme funktioniert eigentlich nur für 3 und 9 aber für andere Zahlen nicht. Und das kann man mit beweisen, weil man immer ein anderes Ergebnis bekommt ? also . für . und deshalb kann man nicht die Quersumme verwenden, um zu überprüfen, ob eine beliebige Zahl durch 7 teilbar ist. Habe ich das richtig verstanden ? Eigentlich geht es ja nur mit 3 und 9 oder ? Und es ist mir gerade eingefallen. Das ist doch wie für einen Induktionsbeweis irgendwie. Und wenn wir den Induktionsschritt machen für bekommen wir immer andere Werte, deshalb stimmt die Formel nicht für alle aus ? |
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"kann man nicht die Quersumme verwenden, um zu überprüfen, ob eine beliebige Zahl durch 7 teilbar ist. Habe ich das richtig verstanden ?" Nicht ganz - man muss jede Stelle mit dem Modifikationsfaktor multiplizieren und dann die Produkte addieren. Ist die modifizierte Quersumme dann durch 7 teilbar, ist die Zahl, aus der man die modifizierte Quersumme erstellt hat, durch 7 teilbar. Das beantwortet auch nicht Deine eigentliche Frage, aber ich finde es interessant, dass die Mehrheit der Mathelehrer stur behauptet, man könne nicht über die Quersumme herausfinden, ob eine Zahl durch 7 teilbar ist. |
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und deshalb kann man nicht die Quersumme verwenden, um zu überprüfen, ob eine beliebige Zahl durch 7 teilbar ist. Naja, die klassische Quersumme, definiert als einfache Summe aller Ziffern, nicht. Aber du sollst ja eine viel allgemeinere Teilbarkeitsregel beweisen, bei der die einzelnen Ziffern der Zahl nicht einfach addiert werden, sondern auch noch mit gewissen Faktoren (eben den multipliziert werden. Und daraus ergibt sich für jede Primzahl eine Teilbarkeitregel! Die Frage ist immer nur, ob sie vernünftig handhabbar ist. Doch darum geht es bei deiner Aufgabe ja nicht - du sollst die Regel beweisen. Und zwar die in allgemeiner Form. Die 3-er Regel ist dann nur mehr ein Abfallprodukt. Bei ergibt sich zB, dass jede zweite Zahl mit jede andere mit multipliziert werden muss, da für ...gerade und für . ungerade Daraus folgt dann eben die Teilbarkeitsregel für mit der alternierenden Ziffernsumme. Und bei 3 solltest du eben rausfinden, dass jede Ziffer mit 1 multipliziert werden muss und daraus folgt dann eben die Quersummenregel. Bei 7 etwa dauert es länger, bis sich die Reste wiederholen und die Regel wird, vor allem im Zeitalter des allgegenwärtigen Taschenrechners, ein wenig unhandlich und obsolet. Die Regel würde verlangen, die Einerstelle mit 1 zu multiplizieren, die Zehnerstelle mit die Hunderterstelle mit die Tausenderstelle mit etc. bis man bei den Millionen wieder mit 1 multiplizietrt, usw. Das alles ist dann zu addieren und zu kontrollieren, ob es durch 7 teilbar ist. |
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Danke noch mal für eure Erklärungen hat mir echt viel geholfen. :-D) |
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