Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Allgemeinheit der Dreier-Regel

Allgemeinheit der Dreier-Regel

Universität / Fachhochschule

Tags: Quersumme, Teil

saty24 aktiv_icon

22:19 Uhr, 28.10.2018

Aus der Schule ist die folgende Dreier-Regel bekannt: Genau dann ist eine natürliche Zahl

x

durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.Beweisen Sie den folgenden (viel allgemeineren) Sachverhalt und begründen Sie, inwiefern die Dreier-Regel ein Spezialfall ist.

Es sei

x = {(a_{m}, ..., a_{1}, a_{0})}_{10}

eine in ihrer Dezimaldarstellung gegebene natürliche Zahl. Weiter sei

p

∈

N

mit ggT(

p, 10) = 1

gegeben. Schließlich sei

r_{i} := 10^{i} mod p

für

i = 0, ..., m

. Dann gilt: Genau dann teilt

p

die Zahl

x,

wenn

p

ein Teiler von

x' := \sum_{i = 0}^{m} a_{i} r_{i}

ist.

Also die Aufgabe verwirrt mich..ich habe deshalb versucht es anhand von kleine zahlen zu verstehen. Für

x = 12 = {(1,2)}_{10}

ist dann die

x' = \sum_{i = 0}^{2} a_{i} r_{i} = 2 \cdot 10^{0} mod p + 1 \cdot 10^{1} mod p

so weiß ich aber nicht wie man

p

ausrechnen kann. Die Teiler von

12

sind aber

1, 2, 3, 4, 6, 12

und ggt

(p,10) = 1

also kann in dem Fall

p

nur 3 sein. dann ist

Σ = 2 + 1 = 3

Das gleiche habe ich für

x = 130

gemacht. Aus alle Teiler von

130

kann

p

nur

13

sein und dann bekommt man das gleiche aus der summer

30 mod 13 + 100 mod 13 = 4 + 9 = 13

Gibt es eine Formel für

a mod c + b mod c

c

auszurechnen ? oder wie soll ich überhaupt anfangen bei diese Aufgabe ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

22:38 Uhr, 28.10.2018

Du sollst doch kein

p

berechnen, sondern eine allgemeine Teilbarkeitsregel beweisen und daraus dann speziell die bekannte Teilbarkeitsregel für 3 (und auch für

9)

ableiten.

Ein Beispiel: Die Zahl sei

3724,

also

m = 3, a_{0} = 4, a_{1} = 2, a_{2} = 7

und

a_{3} = 3

.

Und wir wollen beispielsweise wissen, ob diese Zahl durch

p = 7

restlos teilbar ist.
Dazu betrachten wir die Reste, die sich bei Division der 10er Potenzen durch 7 einstellen, also die

r_{i} = 10^{i} mod 7

r_{0} = 1

r_{1} = 10 mod 7 = 3

r_{2} = 10^{2} mod 7 = 3^{2} mod 7 = 2

r_{3} = 10^{3} mod 7 = 3^{3} mod 7 = 6

EDIT: Sehe gerade, das Pleindespoir trotz meines Hinweises, dass es gleich weiter geht, nicht an sich halten konnte und wie es scheint auch den Hintergrund deiner Frage irgendwie ignoriert hat.

: - (

Wie auch immer - nach der Regel, die du zeigen sollst, müssen wir nun den Ausdruck

\sum_{i = 0}^{3} [a_{i} \cdot r_{i}] = 4 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 7 \cdot 2 + 3 \cdot 6 = 42

bilden. Wenn diese Zahl durch 7 teilbar ist (und das ist sie), dann besagt die Regel, dass auch die Ausgangszahl

7324

restlos durch 7 teilbar ist.
Anmerkung: natürlich kannst du anstelle des Rests 6 auch das äquivalente

- 1

verwenden. Damit kommst du dann anstelle auf

42

auf die Zahl

21,

die natürlich ebenfalls durch 7 teilbar ist.

Und diese Regel musst du eben für beliebige Zahlen

(a_{i})

und beliebige Primzahlen

p

zeigen. Anders ausgedrückt musst du zeigen, dass

\sum_{i = 0}^{m} [a_{i} \cdot 10^{i}]

durch

p

teilbar ist, wenn

\sum_{i = 0}^{m} [a_{i} \cdot (10^{i} mod p)]

durch

p

teilbar ist.

Die Ableitung der bekannten Teilbarkeitsregel für 3 ergibt sich dann ganz leicht daraus, wenn du beachtest, dass

10^{i} = 1 mod 3

für alle

i \in ℕ

gilt.

pleindespoir aktiv_icon

22:44 Uhr, 28.10.2018

Die Teilbarkeit durch 9 ist auch eine Prüfmethode, die mit einfacher Quersumme funktioniert. 9 ist allerdings keine Primzahl.
Bei allen anderen Teilern muss die Quersumme modifiziert werden.
Bei der 11 alternierend - bei vielen Teilern wiederholt sich das Modifizierungsmuster in überschaubarer Länge und enthält Faktoren größer 1.

7: ← 1;-2;-3;-1;2;3;1

13: ← 1;4;3;-1;-4;-3;1

saty24 aktiv_icon

23:17 Uhr, 28.10.2018

ok also zuerst wirklich danke roman für deine Antwort, das ist super hilfreich.

Ich hab schon ein riesigen Fehler in meine Berechnungen gemacht, weil ich die Summe

Σ = a_{i} \cdot r_{i}

als

a \cdot r

und daraus modulo berechnet...also

z . B

. hätte ich für

x = 3724 .

Σ = (4 \cdot 10^{0}) mod 7 + (2 \cdot 10) mod 7 + (7 \cdot 100) mod 7 + (3 \cdot 1000) mod 7

aber das modulo bezieht sich nur auf die zahl die vorne steht. Wie modulo genau funktioniert lerne ich noch gerade.

Ok also wenn ich das richtig verstanden habe, soll diese Formel für eine Zahl gelten, nur wenn

10^{i} mod p

für alle

i

∈

N

gilt. Also die Quersumme funktioniert eigentlich nur für 3 und 9 aber für andere Zahlen nicht. Und das kann man mit

10^{i} mod p

beweisen, weil man immer ein anderes Ergebnis bekommt ?

also

z . B

. für

10^{i} mod 7 . .

10 mod 7 = 3

100 mod 7 = 2

1000 mod 7 = 6

10000 mod 7 = 4

und deshalb kann man nicht die Quersumme verwenden, um zu überprüfen, ob eine beliebige Zahl durch 7 teilbar ist. Habe ich das richtig verstanden ?

Eigentlich geht es ja nur mit 3 und 9 oder ?

Und es ist mir gerade eingefallen. Das ist doch wie für einen Induktionsbeweis irgendwie. Und wenn wir den Induktionsschritt machen für

n + 1

bekommen wir immer andere Werte, deshalb stimmt die Formel nicht für alle

i

aus

N

pleindespoir aktiv_icon

23:44 Uhr, 28.10.2018

"kann man nicht die Quersumme verwenden, um zu überprüfen, ob eine beliebige Zahl durch 7 teilbar ist. Habe ich das richtig verstanden ?"

Nicht ganz - man muss jede Stelle mit dem Modifikationsfaktor multiplizieren und dann die Produkte addieren. Ist die modifizierte Quersumme dann durch 7 teilbar, ist die Zahl, aus der man die modifizierte Quersumme erstellt hat, durch 7 teilbar.

Das beantwortet auch nicht Deine eigentliche Frage, aber ich finde es interessant, dass die Mehrheit der Mathelehrer stur behauptet, man könne nicht über die Quersumme herausfinden, ob eine Zahl durch 7 teilbar ist.

Roman-22

00:10 Uhr, 29.10.2018

>

und deshalb kann man nicht die Quersumme verwenden, um zu überprüfen, ob eine beliebige Zahl durch 7 teilbar ist.
Naja, die klassische Quersumme, definiert als einfache Summe aller Ziffern, nicht.

Aber du sollst ja eine viel allgemeinere Teilbarkeitsregel beweisen, bei der die einzelnen Ziffern der Zahl nicht einfach addiert werden, sondern auch noch mit gewissen Faktoren (eben den

r_{i})

multipliziert werden. Und daraus ergibt sich für jede Primzahl

p

eine Teilbarkeitregel! Die Frage ist immer nur, ob sie vernünftig handhabbar ist.
Doch darum geht es bei deiner Aufgabe ja nicht - du sollst die Regel beweisen. Und zwar die in allgemeiner Form. Die 3-er Regel ist dann nur mehr ein Abfallprodukt.

Bei

11

ergibt sich zB, dass jede zweite Zahl mit

1,

jede andere mit

- 1

multipliziert werden muss, da

10^{i} \equiv 1 (11)

für

i

...gerade und

10^{i} \equiv - 1 (11)

für

i . .

. ungerade
Daraus folgt dann eben die Teilbarkeitsregel für

11

mit der alternierenden Ziffernsumme.

Und bei 3 solltest du eben rausfinden, dass jede Ziffer mit 1 multipliziert werden muss und daraus folgt dann eben die Quersummenregel.

Bei 7 etwa dauert es länger, bis sich die Reste wiederholen

(1; 3; 2; - 1; - 3; - 2; 1; ...)

und die Regel wird, vor allem im Zeitalter des allgegenwärtigen Taschenrechners, ein wenig unhandlich und obsolet. Die Regel würde verlangen, die Einerstelle mit 1 zu multiplizieren, die Zehnerstelle mit

3,

die Hunderterstelle mit

2,

die Tausenderstelle mit

- 1,

etc. bis man bei den Millionen wieder mit 1 multiplizietrt, usw. Das alles ist dann zu addieren und zu kontrollieren, ob es durch 7 teilbar ist.

saty24 aktiv_icon

19:54 Uhr, 29.10.2018

Danke noch mal für eure Erklärungen hat mir echt viel geholfen. :-D)

1444233

1444081

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?