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Alternierende Multilinearform

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: multilinearform, Vektorraum

PeterHoch10 aktiv_icon

10:53 Uhr, 30.04.2021

Es seien

n \in ℕ, V

ein n-dimensionaler Vektorraum über

K

und

f : V^{n} \to K

eine alternierende n-Linearform von V. Es sei

L

ein Endomorphismus von

V

und

x \in V

ein fester Vektor. Zeigen oder widerlegen sie, dass die folgenden Abbildungen jeweils wieder alternierende n-Linearformen von

V

sind:

(a)

f_{1} : V^{n} \to K, (v_{1}, ..., v_{n}) \mapsto f (L (v_{1}), ..., L (v_{n}))

(b)

f_{2} : V^{n} \to K, (v_{1}, ..., v_{n}) \mapsto \sum_{i = 1}^{n} f (v_{1}, ..., v_{i - 1}, L (v_{i}) . v_{i + 1}, ..., v_{n})

Ich habe leider keine Idee, wie ich das zeigen kann. Kann mir bitte jemand einen Ansatz geben?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

09:31 Uhr, 02.05.2021

Wenn diese Definition gemeint ist:
mathepedia.de/Alternierende_Formen.html
dann in es in a) eine alternierende Form und in b) nicht.

1)
Scherungsinvarianz:

f_{1} (v_{1}, . . ., v_{i - 1}, v_{i} + v_{j}, v_{i + 1}, . . .) = f (L (v_{1}), . . ., L (v_{i - 1}), L (v_{i} + v_{j}), L (v_{i + 1}), . . .) =

= f (L (v_{1}), . . ., L (v_{i - 1}), L (v_{i}) + L (v_{j}), L (v_{i + 1}), . . .)

wegen Linearität von

L

und weiter

=

= f (L (v_{1}), . . ., L (v_{i - 1}), L (v_{i}), L (v_{i + 1}), . . .)

, weil

f

alternierend ist.

Homogenität wird ganz ähnlich gezeigt.

2)
Gegenbeispiel:

n = 2

f (v_{1}, v_{2}) = \det (v_{1} ∣ v_{2})

. Weiter

e_{1}, e_{2}

die Standardbasis und dann

L (e_{1}) = e_{2}, L (e_{2}) = e_{2}

.
Dann haben

f_{2} (e_{1}, e_{1}) = f (e_{1}, L (e_{1})) + f (L (e_{1}), e_{1}) = f (e_{1}, e_{2}) + f (e_{2}, e_{1}) = 0

, weil

f

als Determinante definiert wurde.
Aber

f_{2} (e_{1} + e_{2}, e_{1}) = f (e_{1} + e_{2}, L (e_{1})) + f (L (e_{1} + e_{2}), e_{1}) = f (e_{1} + e_{2}, e_{2}) + f (2 e_{2}, e_{1}) =

= f (e_{1}, e_{2}) + 2 f (e_{2}, e_{1}) = - 1

, wobei benutzt wurde, dass

f

die Determinante ist.
Damit gilt die Scherungsinvarianz nicht.

ermanus aktiv_icon

09:54 Uhr, 02.05.2021

Hallo,
@DrBoogie: ich wünsche dir einen schönen 1. Mai gehabt zu haben,
mit deinem Scherungsverletzungsargument bin ich aber nicht einverstanden;
denn für die Determinante gilt ja auch nicht