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Alternierende und Schiefensymmetrische Matrizen

Universität / Fachhochschule

Determinanten

Tags: alternierende matrix, Determinant, schiefensymmetrische matrix

 
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TimMaier

TimMaier aktiv_icon

19:49 Uhr, 14.04.2019

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Hallo liebes Forum,

ich bräuchte Hilfe bei einer Aufgabe :

"Zeigen Sie, dass für reelle Matrizen A=(s1,...,sn),sin,1in, die Eigenschaften der Determinante alternierend zu sein :
det(s1,...,v,...,v,...,sn)=0
äquivalent zu der Eigenschaft der Determinanten schiefsymmetrisch zu sein :
det(s1,...,si,...,sj,...,sn)=-det(s1,...,sj,...,si,...,sn)
ist."

Wenn eine Matrix alternierend ist, heißt, wenn eine Spalte mehrfach vorkommt, ist die Determinante zu der Matrix gleich 0. Ich soll zeigen, dass die Eigenschaft schiefsymmetrisch zu sein äquivalent dazu ist. Meines Verständnisses nach soll ich demnach zeigen, dass wenn eine Matrix schiefsymmetrisch ist die Determinante auch gleich 0 ist.

Mein Problem ist hierbei, dass ich für quadratische Matrizen n×n mit ungeraden n zwar zeigen kann, dass die Determinante gleich 0 ist aber wenn n gerade ist kann ich dies nicht bzw. ich kann zeigen dass die eben nicht gleich 0 wird sobald n gerade ist. Darüber hinaus ist in der Aufgabe ja auch nicht spezifiziert, dass das Matrix quadratisch ist, sondern nur, dass sie n Spalten hat.

Ich weiß nun nicht, ob ich falsch liege, ob mein Verständnis der Aufgabe falsch ist oder ob die Aufgabe tatsächlich etwas komisch formuliert ist und ich im Endeffekt zeigen soll, dass die Eigenschaften alternierend und schiefsymmetrisch genau dann equivalent sind, wenn man quadratische Matrizen n×n mit ungeraden n betrachtet.

LG Tim

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

19:55 Uhr, 14.04.2019

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Hallo,

> Ich weiß nun nicht, ob ich falsch liege, ob mein Verständnis der Aufgabe falsch ist

Jupp, dein Verständnis der Aufgabe ist falsch.

Eigentlich steht da ja, was du zeigen sollst.
Zeige, dass folgende Eigenschaften der DETERMINANTENFUNKTION äquivalent sind:
* Die Determinante ist alternierend.
* Die Determinante ist schiefsymmetrisch.

Was genau diese Eigenschaften sind, steht in der Aufgabenstellung auch!

Mfg Michael
TimMaier

TimMaier aktiv_icon

20:35 Uhr, 14.04.2019

Antworten
Hallo Michael,

danke für deine Antwort, aber wirklich weiterhelfen tut mir das leider noch nicht.

> Zeige, dass folgende Eigenschaften der DETERMINANTENFUNKTION äquivalent sind:
Die Determinante ist alternierend.
Die Determinante ist schiefsymmetrisch.

ich soll also zeigen det(alternierend)=det(schiefsymmetrisch) und da ich ja weiß det(alternierend)=0 bleibt zu det(schiefsymmetrisch)=0 was ja wieder nur unter Bedingung n×n mit n=ungerade stimmt, es also nicht allgemein äquivalent wäre.

Kannst du mir evntl genauer darlegen wie ich das zu verstehen habe denn in meinen Augen drehe ich mich hier im Kreis xD

LG
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

20:57 Uhr, 14.04.2019

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Hallo,

du beziehst die Aussage auf Matrizen, nicht auf die Determinante selbst. Da gibt es einen Unterschied.

> ich soll also zeigen det(alternierend)=det(schiefsymmetrisch)

Nein! Du sollst zeigen:
Wenn die Determinantenfunktion alternierend ist, dann ist sie auch schiefsymmetrisch.
Und: Wenn die Determinantenfunktion schiefsymmetrisch ist, dann ist sie auch alternierend.

Vermutlich darfst du auf elementare Eigenschaften der Determinante verwenden, etwa die Additivität.

Wir wenden uns mal folgender Hälfte zu:
Aus der Eigenschaft "alternierend" folgt bei Determinanten auch "schiefsymmetrisch".

Wir wollen also det(s1,,si,,sj,,sn)=-det(s1,,sj,,si,,sn) beweisen, für ij, 1i,jn.

Dazu addieren wir beide Determinanten und erhalten det(s1,,si+sj,,sj+si,,sn)=0, was daraus folgt, dass si+sj=sj+si, d.h. wir verwenden die Eigenschaft, dass die Determinante alternierend ist.

Aus det(s1,,si,,sj,,sn)+det(s1,,sj,,si,,sn)=0 folgt det(s1,,si,,sj,,sn)=-det(s1,,sj,,si,,sn).

So, nun versuche die Umkehrung!

Mfg Michael
TimMaier

TimMaier aktiv_icon

00:18 Uhr, 15.04.2019

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Jetzt hab ich es besser verstanden, was überhaupt gewollt ist.

Du hast gezeigt wie man aus det(s1,...,si,...,sj,...,sn)=det(s1,...,sj,...,si,...,sn) eine alternierende Form bekommt, umgekehrt muss man also nun zeigen, dass man aus det(s1,...,v,...,v,...,sn)=0 eine schiefsymmetrische Form bekommt.

Könnte man dafür schlicht sagen, dass v=i+j also det(s1,...,i+j,...,i+j,...,sn), dass kann man dann wiederum als det(s1,...,i,...,j,...,sn)+det(s1,...,j,...,i,...,sn)=0 schreiben und von da muss man ja nur noch -det(s1,...,j,...,i,...,sn) rechnen um auf schiefsymmetrisch Form zu kommen ?
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

01:43 Uhr, 15.04.2019

Antworten
Hallo,

> Du hast gezeigt wie man aus det(s1,...,si,...,sj,...,sn)= − det(s1,...,sj,...,si,...,sn) eine alternierende Form
> bekommt, umgekehrt muss man also nun zeigen, dass man aus det(s1,...,v,...,v,...,sn)=0 eine
> schiefsymmetrische Form bekommt.

Genau umgekehrt.

Ich habe aus det(s1,,si+sj,,si+sj,,sn)=0 (det ist alternierend) geschlossen, dass det(s1,,si,,sj,,sn)=-det(s1,,sj,,si,,sn) (det ist schiefsymmetrisch) gilt.

Du musst nun umgekehrt zeigen, dass aus det(s1,,si,,sj,,sn)=-det(s1,,sj,,si,,sn) (det ist schiefsymmetrisch) folgt, dass det(s1,,v,,v,,sn)=0 (det ist alternierend) gilt.

Betrachte also det(s1,,v,,v,,sn) und folgere, dass es gleich Null ist, wobei du Additivität und Schiefsymmetrie nutzen kannst.

Scheint wirklich schwierig zu sein...

Mfg Michael
TimMaier

TimMaier aktiv_icon

20:27 Uhr, 15.04.2019

Antworten
>Scheint wirklich schwierig zu sein...

Tut mir leid, wenn ich so langsam nerve aber das ist es zumindest für mich gerade tatsächlich. Das ist die letzte der Aufgaben, die mir noch fehlen und ich bin nach wie vor nicht dahinter gekommen, wie ich den Rest löse ... Wärst du so freundlich und könntest es mir sagen ?

LG
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

21:57 Uhr, 15.04.2019

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Hallo,

ok, aus det(s1,,si,,sj,,sn)=det(s1,,sj,,si,,sn) soll geschlossen werden, dass det(s1,,v,,v,,sn)=0 gilt.

Der Tausch der beiden Spalten v in der Determinante det(s1,,v,,v,,sn) bewirkt
* einerseits nichts, da die Determinante unverändert bleibt.
* andererseits gemäß Schiefsymmetrie eine Änderung des Vorzeichens.
D.h. es gilt det(s1,,v,,v,,sn)=-det(s1,,v,,v,,sn).
Daraus folgt 2det(s1,,v,,v,,sn)=0, also det(s1,,v,,v,,sn)=0, was zu zeigen war.

Ich möchte noch einmal auf den Teil des Beweises eingehen, bei dem aus der Eigenschaft alternierend die Eigenschaft schiefsymmetrisch gezeigt wurde.

Ich schrieb:
>> Dazu addieren wir beide Determinanten und erhalten det(s1,,si+sj,,sj+si,,sn)=0 ...

Das müsste kleinschrittiger wohl so aussehen:
det(s1,,si,,sj,,sn)=(1)det(s1,,si,,sj,,sn)+0
=(2)det(s1,,si,,sj,,sn)+det(s1,,si,,si,,sn)=(3)det(s1,,si,,si+sj,,sn)
=(4)det(s1,,si,,si+sj,,sn)-0
=(5)det(s1,,si,,si+sj,,sn)-det(s1,,si+sj,,si+sj,,sn)
=(6)det(s1,,-sj,,si+sj,,sn)=(7)det(s1,,-sj,,si+sj,,sn)+0
=(8)det(s1,,-sj,,si+sj,,sn)+det(s1,,-sj,,-sj,,sn)
=(9)det(s1,,-sj,,si,,sn)=-det(s1,,sj,,si+sj,,sn)

Die Gleichheitszeichen (1), (4) und (7) verwenden, dass nur Null addiert bzw. subtrahiert wird. Das ändert den Wert der jeweiligen Terme nicht.
Die Gleichheitszeichen (2), (5) und (8) verwenden aufgrund zweier gleicher Spalten, dass die addierte/subtrahierte Determinante den Wert Null hat. Damit wird also die Eigenschaft alternierend verwendet.
Die Gleichheitszeichen (3), (6) und (9) verwenden die Additivität der Determiante, das letzte Gleichheitszeichen die Homogenität.
Vergleiche dazu de.wikipedia.org/wiki/Determinantenfunktion .

Mfg Michael
Frage beantwortet
TimMaier

TimMaier aktiv_icon

22:53 Uhr, 15.04.2019

Antworten
Lieber Michael, vielen Dank für deine Bemühungen !