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Alternierende und Schiefensymmetrische Matrizen
Universität / Fachhochschule
Determinanten
Tags: alternierende matrix, Determinant, schiefensymmetrische matrix
 
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Hallo liebes Forum, ich bräuchte Hilfe bei einer Aufgabe : "Zeigen Sie, dass für reelle Matrizen die Eigenschaften der Determinante alternierend zu sein : äquivalent zu der Eigenschaft der Determinanten schiefsymmetrisch zu sein : ist." Wenn eine Matrix alternierend ist, heißt, wenn eine Spalte mehrfach vorkommt, ist die Determinante zu der Matrix gleich 0. Ich soll zeigen, dass die Eigenschaft schiefsymmetrisch zu sein äquivalent dazu ist. Meines Verständnisses nach soll ich demnach zeigen, dass wenn eine Matrix schiefsymmetrisch ist die Determinante auch gleich 0 ist. Mein Problem ist hierbei, dass ich für quadratische Matrizen mit ungeraden zwar zeigen kann, dass die Determinante gleich 0 ist aber wenn gerade ist kann ich dies nicht bzw. ich kann zeigen dass die eben nicht gleich 0 wird sobald gerade ist. Darüber hinaus ist in der Aufgabe ja auch nicht spezifiziert, dass das Matrix quadratisch ist, sondern nur, dass sie Spalten hat. Ich weiß nun nicht, ob ich falsch liege, ob mein Verständnis der Aufgabe falsch ist oder ob die Aufgabe tatsächlich etwas komisch formuliert ist und ich im Endeffekt zeigen soll, dass die Eigenschaften alternierend und schiefsymmetrisch genau dann equivalent sind, wenn man quadratische Matrizen mit ungeraden betrachtet. LG Tim Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, > Ich weiß nun nicht, ob ich falsch liege, ob mein Verständnis der Aufgabe falsch ist Jupp, dein Verständnis der Aufgabe ist falsch. Eigentlich steht da ja, was du zeigen sollst. Zeige, dass folgende Eigenschaften der DETERMINANTENFUNKTION äquivalent sind: * Die Determinante ist alternierend. * Die Determinante ist schiefsymmetrisch. Was genau diese Eigenschaften sind, steht in der Aufgabenstellung auch! Mfg Michael |
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Hallo Michael, danke für deine Antwort, aber wirklich weiterhelfen tut mir das leider noch nicht. Zeige, dass folgende Eigenschaften der DETERMINANTENFUNKTION äquivalent sind: Die Determinante ist alternierend. Die Determinante ist schiefsymmetrisch. ich soll also zeigen det(alternierend)=det(schiefsymmetrisch) und da ich ja weiß det(alternierend)=0 bleibt zu det(schiefsymmetrisch)=0 was ja wieder nur unter Bedingung mit n=ungerade stimmt, es also nicht allgemein äquivalent wäre. Kannst du mir evntl genauer darlegen wie ich das zu verstehen habe denn in meinen Augen drehe ich mich hier im Kreis xD LG |
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Hallo, du beziehst die Aussage auf Matrizen, nicht auf die Determinante selbst. Da gibt es einen Unterschied. > ich soll also zeigen det(alternierend)=det(schiefsymmetrisch) Nein! Du sollst zeigen: Wenn die Determinantenfunktion alternierend ist, dann ist sie auch schiefsymmetrisch. Und: Wenn die Determinantenfunktion schiefsymmetrisch ist, dann ist sie auch alternierend. Vermutlich darfst du auf elementare Eigenschaften der Determinante verwenden, etwa die Additivität. Wir wenden uns mal folgender Hälfte zu: Aus der Eigenschaft "alternierend" folgt bei Determinanten auch "schiefsymmetrisch". Wir wollen also beweisen, für , . Dazu addieren wir beide Determinanten und erhalten , was daraus folgt, dass , d.h. wir verwenden die Eigenschaft, dass die Determinante alternierend ist. Aus folgt . So, nun versuche die Umkehrung! Mfg Michael |
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Jetzt hab ich es besser verstanden, was überhaupt gewollt ist. Du hast gezeigt wie man aus − eine alternierende Form bekommt, umgekehrt muss man also nun zeigen, dass man aus eine schiefsymmetrische Form bekommt. Könnte man dafür schlicht sagen, dass also dass kann man dann wiederum als schreiben und von da muss man ja nur noch rechnen um auf schiefsymmetrisch Form zu kommen ? |
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Hallo, > Du hast gezeigt wie man aus det(s1,...,si,...,sj,...,sn)= − det(s1,...,sj,...,si,...,sn) eine alternierende Form > bekommt, umgekehrt muss man also nun zeigen, dass man aus det(s1,...,v,...,v,...,sn)=0 eine > schiefsymmetrische Form bekommt. Genau umgekehrt. Ich habe aus (det ist alternierend) geschlossen, dass (det ist schiefsymmetrisch) gilt. Du musst nun umgekehrt zeigen, dass aus (det ist schiefsymmetrisch) folgt, dass (det ist alternierend) gilt. Betrachte also und folgere, dass es gleich Null ist, wobei du Additivität und Schiefsymmetrie nutzen kannst. Scheint wirklich schwierig zu sein... Mfg Michael |
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>Scheint wirklich schwierig zu sein... Tut mir leid, wenn ich so langsam nerve aber das ist es zumindest für mich gerade tatsächlich. Das ist die letzte der Aufgaben, die mir noch fehlen und ich bin nach wie vor nicht dahinter gekommen, wie ich den Rest löse . Wärst du so freundlich und könntest es mir sagen ? LG |
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Hallo, ok, aus soll geschlossen werden, dass gilt. Der Tausch der beiden Spalten in der Determinante bewirkt * einerseits nichts, da die Determinante unverändert bleibt. * andererseits gemäß Schiefsymmetrie eine Änderung des Vorzeichens. D.h. es gilt . Daraus folgt , also , was zu zeigen war. Ich möchte noch einmal auf den Teil des Beweises eingehen, bei dem aus der Eigenschaft alternierend die Eigenschaft schiefsymmetrisch gezeigt wurde. Ich schrieb: >> Dazu addieren wir beide Determinanten und erhalten ... Das müsste kleinschrittiger wohl so aussehen: Die Gleichheitszeichen (1), (4) und (7) verwenden, dass nur Null addiert bzw. subtrahiert wird. Das ändert den Wert der jeweiligen Terme nicht. Die Gleichheitszeichen (2), (5) und (8) verwenden aufgrund zweier gleicher Spalten, dass die addierte/subtrahierte Determinante den Wert Null hat. Damit wird also die Eigenschaft alternierend verwendet. Die Gleichheitszeichen (3), (6) und (9) verwenden die Additivität der Determiante, das letzte Gleichheitszeichen die Homogenität. Vergleiche dazu de.wikipedia.org/wiki/Determinantenfunktion . Mfg Michael |
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Lieber Michael, vielen Dank für deine Bemühungen ! |
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