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An welchen Stellen f stetig, differenzierbar

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

anonymous

17:39 Uhr, 14.01.2010

Hallo

Ich soll bestimmen, an welchen Stellen die folgenden Funktionen stetig und differnzierbar sind und an allen Stellen, wo sie differenzierbar sind die Ableitung bestimmen.

1.

f (x) = x \cdot [x] - \frac{{[x]}^{2} + [x]}{2}

[]

sollen gaussklammern nach unten sein, also abgerundet.

2.

f (x) = x \cdot | x |

Ich weiß nicht, wie ich das machen soll.
Bin also dringend auf Hilfe angewiesen.

LG
Nicole

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

hagman aktiv_icon

18:07 Uhr, 14.01.2010

Für

n < x < n + 1

mit

n \in ℤ

ist

[x] = n,

also

f (x) = x \cdot n - \frac{n^{2} + n}{2},

somit ist

f

offensichtlich stetig und differenzierbar im gesamten Intervall

(n, n + 1)

und hat dort die Ableitung

f' (x) = n = [x]

.

Fraglich sind die Stellen

n \in ℤ

.
Der linksseitige Limes ist

lim_{x \to n^{-}} f (x) = lim_{x \to n^{-}} (x \cdot (n - 1) - \frac{{(n - 1)}^{2} + (n - 1)}{2}) = n \cdot (n - 1) - \frac{{(n - 1)}^{2} + (n - 1)}{2} = \frac{n (n - 1)}{2}

.
Der rechtsseitige Limes ist

lim_{x \to n^{+}} f (x) = f (n) = n^{2} - \frac{n^{2} + n}{2} = \frac{n \cdot (n - 1)}{2}

.
Somit ist

f

an der Stelle

n \in ℤ

immerhin noch stetig - aber nicht differenzierbar.

anonymous

18:35 Uhr, 14.01.2010

ok, aber warum bestimmt man den linksseitigen und den rechtsseitigen Limes? Und warum wird statt

n, (n - 1)

beim linksseitigen eingesetzt?

anonymous

11:23 Uhr, 16.01.2010

bei 2. habe ich mir gedacht, folgende Fallunterscheidung zu machen

f (x) = x \cdot | x |

für

x < 0

ist

f (x) = - x^{2}

füe

x \geq 0

ist

f (x) = x^{2}

Kann man das so machen?

ArnoNuem aktiv_icon

13:22 Uhr, 16.01.2010

Hab nochmal eine Frage zu der ersten Funktion:

Mit Hagmans Hilfe hat soweit auch alles geklappt, aber nun möchte ich noch zeigen, dass die Funktion für $Z$ nicht diffbar ist. Dafür hab ich versucht den Differenzenquotienten aufzustellen und folgendes Ergebnis bekommen:

$\lim_{h \to 0} \frac{f (n + h) - f (n)}{h} = n - \frac{1}{2}$

Kann ich nun einfach sagen, dass $f^{'} (x) = ⌊ x ⌋$ (für x=n dann also $f^{'} (n) = n$ ) ungleich ist zu $n - \frac{1}{2}$ ???

Ich steh irgendwie mal wieder aufm Schlauch. Oder brauch ich das hier gar nicht mit dem Differenzenquotienten machen? Bitte helft mir!

Mfg Kai

ArnoNuem aktiv_icon

11:41 Uhr, 17.01.2010

Hmm, ist denn nun die erste Funktion an den Stellen

x = n

diffbar oder nicht? Also wenn der Hagman schon sagt, dass sie es nicht ist, so wird er schon recht haben. Nur warum bekomm ich denn beim Differenzenquotienten ein Ergebnis??? Dies würd doch eigentlich heißen, dass die Funktion hier diffbar ist, oder? Ich glaub ich habe da ein Verständnisproblem.
Wäre schön, wenn jemand helfen könnte.

Mfg Kai

anonymous

14:19 Uhr, 17.01.2010

ja, das mit dem differenzenquotienten, da habe ich auch noch ein problem, und wie sieht es mit 2. aus?

Hat jemand eine idee?

anonymous

15:51 Uhr, 17.01.2010

Hallo,

ich sitze gerade vor der gleichen Aufgabe.

zu

1 .)

Wie zeige ich denn genau, dass

f (x)

nicht differenzierbar ist? Wenn ich den Differenzquotienten aufstelle, weiß ich nicht mehr wie ich weiter machen soll. Mich verwirrt die Gaußklammer. Wie zeige ich denn dann, dass der Grenzwert nicht existiert.

zu

2 .)

Ich habe auf Differenzierbarkeit für

x > 0, x < 0

und

x = o

überprüft und bin der Meinung, dass die Funktion differenzierbar ist. Da jede differenzierbare Funktion auch stetig ist, ist die Funktion auch stetig, wozu man nichts weiter überprüfen muss. Stimmt das oder habe ich einen Fehler gemacht?

Lg

anonymous

16:37 Uhr, 17.01.2010

kann denn keiner helfen?

Astor aktiv_icon

16:50 Uhr, 17.01.2010

Hallo,
estrella,
also die Aufgabe 2 hast du richtig angefangen.
Es sind also zwei "Halbparabeln" aneinandergefügt. Da jede Halbparabel, also für x<0 und auch für x>0 stetig und differenzierbar sind, ist f noch an der Stelle x=0 zu untersuchen.

Die Stetigkeit an der Stelle x=0 ist klar.
Die Funktion ist auch dort differenzierbar.
Betrachte den linksseitigen Differenzenquotient;

\frac{f (x_{o} - h) - f (x_{o})}{- h} = \frac{(- h)^{2} - 0}{- h} = \frac{h^{2}}{- h} = - h

Grenzwert ist gleich Null, für h gegen Null.

Wenn man den rechtsseitigen Differenzenquotienten betrachtet, so erhält man:

\frac{f (x_{o} + h) - f (x_{o})}{h} = \frac{h^{2} - 0}{h} = h

Also ist f an der Stelle x=0 differenzierbar.

Wenn man sich

x * [x]

sich betrachtet, so stellt man fest, dass dieser Term für x>1 stetig ist, aber an den Rändern zu ganzzahligen Werten nicht differenzierbar ist.

Der Term

\frac{[x]^{2} + [x]}{2}

ist eine Treppenfigur und an den Rändern nicht stetig.

Es genügt die Funktion mal in der Nähe von z.B.

x_{o} = 3

zu betrachten.

Gruß Astor

anonymous

17:06 Uhr, 17.01.2010

danke, und bei

1 .

? Ich weiß nicht genau, wie ich nachweisen soll, dass

f

für

x = n

nicht differnzierbar ist.

Astor aktiv_icon

17:16 Uhr, 17.01.2010

Also:
sei x<n, aber x>n-1,
dann gilt

x * [x] = x * (n - 1)

das ist ein Geradenstück mit der Steigung

m = n - 1

und für

\frac{[x]^{2} + [x]}{2} = \frac{(n - 1)^{2} + n - 1}{2} = \frac{n^{2} - 2 n + 1 + n - 1}{2} = \frac{n^{2} - n}{2} = \frac{n (n - 1)}{2}

Jetzt betrachte die Funktion f mal für n=4 und dann für n=5.
Skizziere die Graphen und dann müsst man doch einiges sehen.

Gruß Astor

anonymous

17:45 Uhr, 17.01.2010

aber wie kann ich mathematisch beweisen, dass

f

nicht differenzierbar für

x = n

ist?

anonymous

09:00 Uhr, 18.01.2010

kann denn da keiner helfen? Wie kann ich mathematisch korrekt beweisen, dass

f

an den Rändern nicht differnzierbar ist?

hagman aktiv_icon

13:26 Uhr, 18.01.2010

Zur Betrachtung von

f' (n) :

Für

n < x < n + 1

ist

f (x) = x \cdot n - \frac{n^{2} + n}{2}

und für

n - 1 < x < n

ist

f (x) = x \cdot (n - 1) - \frac{{(n - 1)}^{2} + (n - 1)}{2}

Zudem ist

f (n) = \frac{n \cdot (n - 1)}{2},

also
Für

h > 0 : \frac{f (n + h) - f (n)}{h} = \frac{(n + h) \cdot n - \frac{n^{2} + n}{2} - \frac{n \cdot (n - 1)}{2}}{h} = n

Für

h < 0 : \frac{f (n + h) - f (n)}{h} = \frac{(n + h) \cdot (n - 1) - \frac{{(n - 1)}^{2} + (n - 1)}{2} - \frac{n \cdot (n - 1)}{2}}{h} = n - 1

Folglich existieren links- und rechtsseitige Grenzwerte, nicht jedoch der Grenzwert an sich.

anonymous

21:06 Uhr, 18.01.2010

Danke!

anonymous

21:07 Uhr, 18.01.2010

Danke!

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