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Ana2: Vergleich von Normen des IR^2

Universität / Fachhochschule

Tags: Analysis, euklidische Norm, Längenmessung, Metrik, Norm

Sunny92 aktiv_icon

17:45 Uhr, 16.04.2013

Hallo Leute,

ich brauche eure Hilfe bei einer Aufgabe in Analysis 2:

Vergleichen sie die durch

\sqrt[3]{∣ x ∣^{3} + ∣ y ∣^{3}}

auf

ℝ^{2}

gegebene Norm mit der euklidischen Norm.

Irgendwie bekomme ich keinen Ansatz. Ich nehme mal an, dass ich die Normkriterien irgendwie als Grundlage nehmen soll. Aber wie soll ich genau da Vergleichen?

Die Euklidische Norm ist: |a| =

\sqrt{x^{2} + y^{2}}

, für a aus

ℝ^{2}

Also kann ich schon mal sagen, dass die gegebene Norm nicht gleich der euklidischen ist. Aber sonst?

Hoffe ihr könnt mir helfen...

Danke und Grüße
Sunny

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

18:22 Uhr, 16.04.2013

Hallo,

zeige, dass es Konstanten(!)

c, d > 0

gibt, sodass für alle(!)

x \in ℝ^{2}

gilt:

∥ x ∥_{2} \leq c ∥ x ∥_{3} \leq d ∥ x ∥_{2}

.

Damit ist beweisen, dass die Normen äquivalent sind. Besagt: die von beiden Normen erzeugten Topologien sind dieselben.

Mfg Michael

mac-user09 aktiv_icon

18:30 Uhr, 16.04.2013

Könnte da nicht Cauchy-Schwarz-Ungleichung helfen?

Sunny92 aktiv_icon

17:26 Uhr, 17.04.2013

Oh ja, das ist damit gemeint, mit Vergleich.

Leider stehe ich da irgendwie auf dem schlauch. Ich soll jetzt einfach für Vektoren aus

ℝ^{2}

für die 3er und 2-er Norm Konstanten finden. Aber diese Konstanten aus

ℝ

sind doch nicht eindeutig wegen der Ungleichungen, oder doch?

Könntest du da noch mal helfen?

Danke und Grüße
Sunny

michaL aktiv_icon

19:51 Uhr, 17.04.2013

Hallo,

vielleicht schaust du dir de.wikipedia.org/wiki/P-Norm#.C3.84quivalenz an?!

Mfg Michael

Sunny92 aktiv_icon

20:16 Uhr, 17.04.2013

Ja, danke sehr. Leider habe ich von der Hölder-Gleichung noch nie gehört, auch nicht in der Vorlesung.

Ich müsste doch die Normen ausgeschrieben in deine Ungleichung einsetzten und dann so abschätzen, dass ich irgendwann sagen kann, was c und d sind, oder?

Das habe ich jedoch versucht, aber wenn ich die komplette Ungleichung nehme, kann ich ja schlecht zwei Unbekannte (c, d) bestimmen.

Darf ich einfach zunächst

∣ ∣ x ∣ ∣_{2} \leq c ∣ ∣ x ∣ ∣_{3}

und dann im zweiten Schritt

c ∣ ∣ x ∣ ∣_{3} \leq d ∣ ∣ x ∣ ∣_{2}

nehmen und dann c bzw. d bestimmen?

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